鞅和马尔可夫链有什么区别和联系？

鞅的核心在于:E[Xt | Fs] = Xs(其中s小于t)。

直观的解释是，如果(Xi)是鞅，那么当我们在时间点S预测Xt时，最佳预测在Xs，也就是现在的情况。

举个简单的例子:如果你现在(时间点S)身上有100元，说明你进了赌场，公平游戏(当然，真正的赌场大多不是！)，然后估算两个小时(时间t)你还剩多少钱？

答案当然是100元！从这个例子可以看出，鞅就是这样描述这个“公平”的。

马尔可夫性质是另一个性质:(来自维基百科)

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意思是给定当前信息，只用当前状态预测未来，过去(即现在之前的历史状态)与预测未来(即现在之后的未来状态)无关。

两者的联系和区别:

用一个很好的例子来反映这两者的联系和区别，即随机漫步，这里只讲一维情况:

假设醉汉在T0时刻处于数轴原点，每次都会随机向左或向右移动一格(即在T1处，可能在+1处，也可能在-1处，以此类推)，用Xt表示醉汉所在位置的坐标(例如X0=0)。

首先，这样的随机过程(Xt)是鞅吗？这个要看醉汉左右移动的概率是不是0.5(也就是公平与否)。如果是，那么(Xt)是鞅，否则不是。

验证:如果每次向左移动的概率是0.8，向右移动的概率是0.2，如果T5时刻醉酒位置坐标是-3(即X5= -3)，那么T5时刻X6的期望是0.8 *(4)+0.2 *(2)=-3.6，而不是-3。

但无论移动概率p是多少，(Xt)一定是马尔可夫链。对于与上面相同的假设，对于任何X，给定所有以前的历史(即X0到X4)和当前情况(即X5)，让我们检查P(X6=x)的所有情况:

当x=(X5-1)时，这个概率等于0.8；

当x=(X5+1)时，这个概率等于0.2；

当x等于其他时，这个概率等于0。

所以P(X6=x)的概率一定只与X5有关，而与X0到X4无关。