黑白双人版小游戏
定义概率的频率定义
随着人们遇到的问题越来越复杂，等可能性逐渐暴露出它的弱点，尤其是对于同一事件，从不同的等可能性角度可以计算出不同的概率，从而产生各种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复实验时，随着实验次数的增加，一个事件的发生频率总是在一个固定的数附近摆动，表现出一定的稳定性。R.von mises把这个定数定义为事件的概率，这就是概率的频率定义。理论上概率的频率定义不够严谨。安德雷·柯尔莫哥洛夫在1933中给出了概率的公理化定义。
概率的严格定义
设e为随机实验，ω为其样本空间。对于E的每个事件A，分配一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率..这里p()是一个集合函数，p()必须满足以下条件:
(1)非负性:对于每个事件A，有P(A)≥0；
(2)正态性:对于必然事件S，有P(S)= 1；
(3)可数可加性:设A1，A2……...成为互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，(I，J = 1，2...)，然后就是P (A1。
随机事件的发生是有偶然性的，但随机事件发生的可能性仍然是不同的、可测量的。事实上，在生活、生产和经济活动中，人们往往关心随机事件发生的可能性。
例如:
(1)抛一个均匀的硬币，正面和侧面的概率分别是1/2。
(2)彩票中奖的几率有多大？
上述的正面机会，以及彩票中奖的几率或命中率，都是用来衡量随机事件发生的概率。一个随机事件A的概率称为这个事件的概率，用P(A)表示。
概率是一个介于0和1之间的数字。概率越大，事件发生的可能性越大；概率越小，事件发生的可能性就越小。特别地，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，即:
p(φ)= 0，p(ω)= 1
概率的经典定义
如果测试满足两个要求:
(1)实验只有有限数量的基本结果。
(2)检验的每个基本结果的可能性是相同的。
这样的实验就成了经典实验。
对于经典实验中的事件A，其概率定义为:
P(A)=m/n，其中n代表实验中所有可能基本结果的总数。m表示事件A中包含的基本测试结果的数量..这种定义概率的方法被称为概率的经典定义。
概率的统计定义
在一定条件下，实验重复n次，其中nA是事件A在n次中发生的次数。如果随着N的逐渐增加，频率nA/n逐渐稳定在某个值P附近，则P值称为事件A在此条件下发生的概率，记为P (a) = P..这个定义成为概率的统计定义。
在历史上，早期概率论史上最重要的学者雅各布·伯努利(公元1654 ~ 1705)第一个对“当实验次数N逐渐增加时，频率nA稳定在其概率P”这一论断给出了严格的意义和数学证明。
从概率的统计定义可以看出，数值p是描述事件A在此条件下发生可能性的一个量化指标。
由于频率nA/n总是在0到1之间，所以从概率的统计定义可以看出，对于任意事件A，有0≤P(A)≤1，p (ω) = 1，p (φ) = 0。
ω和φ分别代表必然事件(一定条件下必须发生的事件)和不可能事件(一定条件下一定不会发生的事件)。
历史
第一个系统计算概率的人是16世纪的卡尔达诺。这是记录在他的书里的。书中概率的内容是古尔德从拉丁文翻译过来的。
卡尔达诺的数学著作对赌徒有很多忠告。这些建议都写在短文里。比如:“谁，什么时候，应该赌博？”亚里士多德为什么谴责赌博？那些教别人赌博的人也很会赌博吗？“等等。
然而，正是在帕斯卡和费马之间的一系列信件中，首次提出了对概率的系统研究。这些通信最初是由帕斯卡提出的，他想问费马几个关于切瓦利尔·德·梅尔提出的问题。切瓦利尔·德·梅尔是一位著名的作家，路易十四宫廷中的杰出人物，也是一个狂热的赌徒。主要有两个问题:掷骰子的问题和比赛奖金的分配问题。
两个类别之间的经典概率相关性
经典概率讨论的对象仅限于随机实验的所有可能结果都是有限且相等的情况，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每个基本事件的可能性相同。如果事件A包含m个基本事件，则事件A的概率定义为p(A)=m/n，即事件A的概率等于事件A包含的基本事件数除以基本空间中基本事件总数。这是P.-S .拉普拉斯对概率的经典定义，或者说是概率的经典定义。历史上，古典概率是通过研究骰子等赌博游戏中的问题而产生的。计算经典概率，可以用穷举法列出所有的基本事件，然后统计出一个事件所包含的基本事件的个数并进行划分，即通过组合计算的方式简化计算过程。
几何概率相关
几何概率如果随机测试中有无穷多个基本事件，每个基本事件都有同等的可能性，那么经典概率就不能用了，于是就产生了几何概率。几何概率的基本思想是将一个事件对应到一个几何区域，利用几何区域的度量来计算一个事件的概率。布冯的扔针问题就是应用几何概率的典型例子。
在概率论发展的早期，人们注意到经典概率只考虑有限个检验结果是不够的，还要考虑无限个检验结果。正因如此，无穷多个测试结果可以用欧氏空间中的某个区域S来表示，测试结果具有所谓“均匀分布”的性质。“均匀分布”的精确定义类似于经典概率论中“等可能性”的概念。假设面积S和其中可能出现的任何小面积A都是可测的，测量的大小分别用μ(S)和μ(A)表示。比如一维空间的长度，二维空间的面积，三维空间的体积。假设这个度量具有各种属性，如长度，如非负性和可加性。
◆几何概率的严格定义
设事件A(也是S中的某个区域)包含A，其度量大小为μ(A)。如果P(A)表示事件A的概率，考虑到“均匀分布”，事件A的概率取为:P(A)=μ(A)/μ(S)，计算出的概率称为几何概率。
◆如果φ是不可能事件，即φ是ω中的空区，其度量大小为0，那么它的概率p (φ) = 0。
独立测试序列
如果一系列实验有以下三项:
(1)每个实验只有两个结果，一个标记为“成功”，一个标记为“失败”，P{成功}=p，P{失败} = 1-p = q。
(2)在每次实验中，成功的概率P保持不变。
(3)实验是相互独立的。
那么这一系列测试就称为独立测试序列，也称为伯努利概率。
不可避免的事件和不可能的事件
在一个特定的随机实验中，每一个可能的结果称为一个基本事件，所有基本事件的集合称为一个基本空间。随机事件(简称事件)由一些基本事件组成。比如连续掷骰子两次的随机实验，用Z和Y分别代表第一次和第二次出现的点。Z和Y可以取1，2，3，4，5，6的值，每个点(Z，Y)代表一个基本事件，所以基本空间包含36个元素。“点数之和为2”是一个事件，由一个基本事件(1，1)组成，可以用集合{(1，1)}来表示。“点数之和为4”也是事件，由(1，3组成。如果把“点数之和是1”也看作一个事件，那么它就是一个不包含任何基本事件的事件，称为不可能事件。这个事件不可能在实验中发生。如果把“点数之和小于40”看作一个事件，它包含了所有的基本事件，而这个事件必须发生在实验中，所以称之为必然事件。如果A是事件，那么“事件A没有发生”也是事件，称为事件A的相反事件..在现实生活中，需要研究各种事件及其关系，基础空间中各种元素子集及其关系。
比如小明要把五个球放在四个抽屉里，其中一个抽屉会有两个球。这是不可避免的事件。
再比如:小明想在五个抽屉里放三个球。如果每个抽屉里都有球，那么这就是不可能发生的事件。
随机事件、基本事件和其他可能发生的事件、互斥事件以及在一定条件下可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。
每一个可能结果的实验都叫做基本事件。
通常实验中的一个事件由基本事件组成。如果一个实验有n种可能的结果，即该实验由n个基本事件组成，所有结果出现的可能性相等，那么这种事件称为等位事件。
两个不能同时发生的事件称为互斥事件。
必须有一个相互排斥的事件叫做对抗性事件。
那就是p(必然事件)=1。
p(可能事件)=(0-1)(可以用分数)
p(不可能事件)=0
自然
属性1.p (φ) = 0。
特性2(有限的可加性)。当n个事件A1，…，An互不相容时:P(a 1∨)。。。∪An)=P(A1)+...+P(An)。
房产3。对于任何事件，a: p (a) = 1-p(不是a)。
房产4。当事件A和B满足A包含在B中:P(B-A)=P(B)-P(A)时，p (a) ≤ p (b)。
财产5。对于任何事件A，p (a) ≤ 1。
房产6。对于任意两个事件A和B，p (b-a) = p (b)-p (ab)。
属性7(加法公式)。对于任意两个事件A和B，p(A∪B)= p(A)+p(B)-p(A∪B)。
(注:数字1，2，...A后面的n都表示下标。)
频率和概率
概率被引入到事件可能性的量化中。
“统计规律性”
独立重复试验的总数n，事件发生的频率a μ，
事件A的频率Fn(A)=μ/n，事件A的频率Fn(A)有稳定值吗？
比如之前的抛硬币测试(下表第44页)
如果有，频率μn的稳定值P称为事件A发生的概率，P(A)=p【概率的统计定义】
P(A)是客观的，而Fn(A)是靠经验的。
在统计学中，n很大时Fn(A)的值有时被用作概率的近似值。
三个基本属性
1.【非负】:任意事件A，P(A)≥0。
2.[完备性]: p (ω) = 1
3.【加法定律】如果事件A和B不相容，即AB=φ，则P(A+B)=P(A)+P(B)。
加法规则
如果事件A和B不相容，当A+B发生时，其中一个必须且只能发生。独立重复做n次实验。比如记住事件A的频率是μA和Fn(A)，事件B的频率是μB和Fn(B)，事件A+B的频率是μA+B和Fn(A+B)。很容易知道μA+B =μA +μB，∴.它们的稳定值也应该是:P(A+B)=P(A)+P(B)【加法法则】如果事件A和B不相容，即AB=φ，则P (a+b) = p (a)+p (b)，即两个互斥事件的概率之和等于它们的概率之和。请大家想一想:如果A和B不是不相容，就是相容呢？进一步研究表明:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，这就是所谓的“多退少补”！
模糊和概率
1.不确定性是随机性吗？似然比和概率是否代表了所有的不确定性？
贝叶斯阵营:概率是一种主观的先验知识，而不是频率和客观的度量。
林德利:概率是对不确定性唯一有效和充分的描述，其他所有方法都是不充分的。
相似性:不确定性用单位区间[0，1]之间的数表示，都有集合、相关、联系、分布等命题。
区别:请客。经典集合论，
代表一个概率上不可能的事件。歧义是基于
(1)总是真的吗？
考虑是否可能在逻辑上或部分违反“不矛盾定理”(亚里士多德三大“思维定理”之一，中定理同时也是如此。
性定理这些是非黑即白的经典定理。)歧义(矛盾)是西方逻辑的终结。
(2)条件概率算子可以导出吗？
在经典集合论中:
模糊理论:认为超集是其子集的子集过程。
度，这是模糊集特有的问题。
2.模糊性和概率:是否和多少？
模糊性是事件发生的程度。随机性是一个事件是否发生的不确定性。
例:明天有20%的几率下小雨(包括复合不确定性)。
停车位问题
冰箱里有一个苹果，冰箱里有半个苹果的概率。
事件逆转，地球进化回到原点。
模糊性是一种确定性的不确定性，是物理现象的一种特性。用模糊性表示不确定性
结果将是令人震惊的，人们需要重新审视现实模型。
概率的经济概念
【1】概率是指产生某种结果的可能性。引言是一个很难形式化的概念，因为它的形成取决于不确定事件的性质和人们的主观判断。引进的客观衡量标准来自于过去类似事件的发生频率。在无法根据以往经验判断的情况下，概率的形成依赖于基于直觉的主观判断。这个时候，不同的人会形成不同的判断，做出不同的选择。