如何在拓扑学中证明在几个圆环体中，多边形N中的每个顶点都可以成对相连，但不相交？

先看球体。像飞机一样，是单连通的。多边形能存在于平面上当且仅当它能存在于球面上。球面上的欧拉公式V-E+F=2。对于完全四边形，V=4，E=C(4，2)=6，则F=2-(4-6)=4。因为每个面都是三角形，每个边都是两个面共有的，所以一个* * *应该有3F/2=6条边，正好等于E，对于一个完整的五边形，如果嵌入一个球面，V = 5，E = C (5，2) = 10，F = 2-(V-E) = 7。此时，3F/2=11.5不等于e .同样，对于一般完全n & gt四角体，v = n，e = c (n，2) = n (n-1)/2，f = 2-(v-e)。很容易验证3f/2 >: E .矛盾这说明n & gt在4，一个完整的N多边形不能存在于球体上。

看亏格为1的环面。欧拉公式V-E+F=0。一个完整的N边形嵌入圆环有两种可能性。一种是所有三角形都是普通的，即可以连续收缩成圆环面上的一个点；一个是有一个非凡的三角形。比如环面或者纬度圈上的经线线圈，它们不可能连续收缩到一个点。第一种情况，所有三角形都是普通的，和球面上的情况一样，所以这种情况可以不再讨论。

在第二种情况下，有一个非同寻常的三角形，注意到非同寻常的三角形不能产生新的面孔。比如一个翘曲线圈，翘曲线圈不能把圆环分成两个不相连的部分。但是一个很小的三角形真的可以把圆环体分成两个不相连的部分，也就是贡献新的面。所以在第二种情况下，两个面并不总是共享一条边。因此，3F/2=E不再有效。但是不等式3f/2

然后考虑n=5，6，当V=5(或6)，E=10(或15)，F=E-V=5(或9)，3f/2 = 7.5

n & gt=7，3F/2 & gt；=E，不合格。

类似的计算表明，对于有Quigg G的环面，欧拉公式为V-E+F=2-2g，V=n，E=n(n-1)/2，设3f/2