MATLAB 求解Lyapunov方程

一、连续Lyapunov方程

连续Lyapunov方程可以表示为

Lyapunov方程来源与微分方程稳定性理论，其中要求C为对称正定的n×n方阵，从而可以证明解X亦为n×n对称矩阵，这类方程直接求解比较困难，不过有了Matlab中lyap()函数，就简单多了。

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 0

>> C=-[10 5 4;5 6 7;4 7 9]

C =

-10 -5 -4

-5 -6 -7

-4 -7 -9

>> X=lyap(A,C)

X =

-3.9444 3.8889 0.3889

3.8889 -2.7778 0.2222

0.3889 0.2222 -0.1111

二、Lyapunov方程的解析解

利用Kroncecker乘积的表示方法，可以将Lyapunov方程写为

function x=lyap2(A,C)

%Lyapunov方程的符号解法

n=size(C,1);

A0=kron(A,eye(n))+kron(eye(n),A);

c=C(:);

x0=-inv(A0)*c;

x=reshape(x0,n,n)

例子

>>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];

>>C=-[10 5 4;5 6 7;4 7 9];

>>x=lyap2(sym(A),sym(C))

x =

[ -71/18, 35/9, 7/18]

[ 35/9, -25/9, 2/9]

[ 7/18, 2/9, -1/9]

三、离散Lyapunov方程

离散Lyapunov方程的一般形式为

Matlab中直接提供了dlyap()函数求解该方程：X=dlyap(A,Q)

其实，如果A矩阵非奇异，则等式两边同时右乘得到

就可以将其变换成连续的Sylvester方程

而Sylvester方程是广义Lyapunov方程，故离散的Lyapunov方程还可以使用下面的方法求解

B=-inv(A’)

C=Q*inv(A’)

X=lyap(A,B,C)

下面总结下我们上面的讲到的知识点：

X=lyap(A,C) 连续Lyapunov方程数值解法

X=lyap2(A,C) 连续Lyapunov方程符号解法

X=lyap(A,B,C) 广义Lyapunov方程，即Sylvester方程

X=dlyap(A,Q)或者X=lyap(A,-inv(A’),Q*inv(A’)) 离散Lyapunov方程

Sylvester方程Matlab求解Sylvester方程的一般形式为

该方程又称为广义的Lyapunov方程，式中A是n×n方阵，B是m×m方阵，X和C是n×m矩阵。Matlab控制工具箱提供了直接的求解该方程的lyap()函数

A=[8 1 6;3 5 7;4 9 2]

B=[2 3;4 5]

C=[1 2;3 4;5 6]

X=lyap(A,B,C)

A =

8 1 6

3 5 7

4 9 2

B =

2 3

4 5

C =

1 2

3 4

5 6

X =

0.2011 0.2016

0.0393 0.1554

-0.6428 -0.8966

同理，我们使用Kronecker乘机的形式将原方程进行如下变化

故可以编写Sylvester方程的解析解函数

function X=lyap3(A,B,C)

%Sylvester方程的解析解法

%rewrited by dynamic

%more information

If nargin==2,C=B;B=A';end

[nr,nc]=size(C);

A0=kron(A,eye(nc))+kron(eye(nr),B');

try

C1=C';

X0=-inv(A0)*C1(:);

X=reshape(X0,nc,nr);

catch

error('Matlabsky提醒您：矩阵奇异！');

end

用上面的数据，我们试验下该解析解法的

>>X=lyap3(sym(A),B,C)

X =

[ 2853/14186, 557/14186, -9119/14186]

[ 11441/56744, 8817/56744, -50879/56744]

Riccati方程的Matlab求解Riccati方程是一类很著名的二次型矩阵形式，其一般形式为

由于含有矩阵X的二次项，所有Riccati方程求解要Lyapunov方程更难，Matlab控制工具箱提供了are()函数，可以直接求解该函数

A=[-2 1 -3;-1 0 -2;0 -1 -2]

B=[2 2 -2;-1 5 -2;-1 1 2]

C=[5 -4 4;1 0 4;1 -1 5]

X=are(A,B,C)

A =

-2 1 -3

-1 0 -2

0 -1 -2

B =

2 2 -2

-1 5 -2

-1 1 2

C =

5 -4 4

1 0 4

1 -1 5

X =

0.9874 -0.7983 0.4189

0.5774 -0.1308 0.5775

-0.2840 -0.0730 0.6924

如何用matlab求解lyapunov指数我是需要分析计算LOGISTIC数据 ,都是用来说明对初值的敏感.以下是LOGISTIC求解的程序 ,希望得到LYAPUNOV的程序.

clc

clear

close all

lambda = 3:5e-4:4;

x = 0.4*ones(1,length(lambda));

N1 = 400; % 前面的迭代点数

N2 = 100; % 后面的迭代点数

f = zeros(N1+N2,length(lambda));

for i = 1:N1+N2

x = lambda .* x .* (1 - x);

f(i,:) = x;

end

f = f(N1+1:end,:);

plot(lambda,f,'k.','MarkerSize',1)

xlabel('\lambda')

ylabel('x');

慢慢看吧，很有用