游戏六边形的设计与推理

上图中，每个立方体在屏幕上的投影是正六边形。所以逆向思维可以认为六边形地图中的每个六边形都是一个立方体。基于此，我们可以开始设计和推导六边形地图方案。设计和推导的目的是找到海量数据和抽象理论之间的关系，从而帮助我们以计算机的形式进行计算。

现在我们已经把每个六边形的地图巨像变成了一个立方体，让我们把这些立方体做成边长为1。基于此，我们可以为每个立方体定义坐标，建立坐标系。

如上图，建立一个三维坐标系，其中我们定义蓝色为X轴，绿色为Y轴，红色为Z轴。

基于三维坐标系，我们可以找到每个方块的坐标。比如上图中，左下方块可以定位为(5，0，0)，右方块的坐标依次为(4，0，1)，(3，0，2)，(2，0，3)，(1，0，4)，(0，0，0)。

然后，我们来重点介绍一下六边形地图变换的基础三维地图。

如上图，我们可以理解为这是一个二维平面，每个六边形网格都可以用(x，y)的形式表示；同时也可以理解为是三维世界的二维投影，每个立方体都可以用(x，y，z)的形式表示。

然后，对于上图中选择的立方体，我们将其坐标设置为(0，0，0)，它所代表的六角点阵的坐标设置为(0，0)。直观来看，点右侧六边形的二维坐标为(0，1)，立方体右侧立方体的坐标为(1，0，-1)。

以此为基础，建立了应用于生产环境的坐标系，下一步就是推导这个坐标系下的数学规律。

设一个立方体的坐标为(0，0，0)，那么根据图例，我们可以推导出它周围六个立方体的坐标。

当我们在三维坐标系中计算围绕原点的六个点的坐标时，我们可以将这六个点的坐标转换成六个向量，分别代表围绕一个指定方框的六个点的偏移向量。

基于我们已经从原点构建了坐标系并获得了六个方向的偏移向量，我们可以得出以下结论:

结论1:坐标系中所有点的坐标的三个值之和为0。

结论1推导:由于坐标系从(0，0，0)开始，每个偏移向量的x，y，z值之和为0，因此可以推导出坐标系中所有点的坐标的x，y，z值之和为0。

结论2:若坐标系中任意两点的坐标差为(x，y，z)，则x+y+z=0成立。

结论2推导:两个坐标点的坐标差可以理解为A点到b点的变换，由于变换由六个方向的偏移向量组成，且六个偏移向量满足x+y+z=0，所以这个结论成立。

根据数学归纳法，我们可以根据所有点的二维和三维坐标，求出所有点(二维坐标中的六边形和三维坐标中的方框)之间的变换关系:

结论3:如果一个点的二维坐标为(a，b)，三维坐标为(x，y，z)，那么对于任意一点，

有一个三维到二维的运算:a = x+(y >；& gt1)，b = y；

有一个二维到三维的运算:x = a-(b >；& gt1)，y=b，z=-x-y .

地图的一个常见功能是找出每个点之间的距离。因为二维坐标不方便我们计算距离，所以我们优先计算三维坐标中各点的距离，然后利用二维坐标与三维坐标的转换关系，完成二维左坐标中两点间距离的计算过程。

先抛结论:

结论4:若A点与B点的三维坐标差为(x，y，z)，坐标差的本质是6个偏移向量的1-2乘以不同的倍数后叠加。

结论5:设A点和B点的三维坐标差为(x，y，z)，则A点和B点的距离为x，y，z的绝对值的最大值..

让我们选择一个点作为起点。

然后我们选择一个点作为目标点。

从起点到目标点，可以有两种路径方案，如下图所示:

虽然两个方案的行走路径不同，但是距离是一样的。其本质是n个偏移向量的叠加。但由于六边形地图本身的性质，构成两点间路径的偏移向量只能是单个1向量，也可以是两个相邻向量的组合。

回过头来看偏移向量，可以发现任意两个相邻向量都有一个坐标的值相同，那么结合两点间路径的偏移向量的本质，可以得出结论5。