五年级有关行程问题的数学题

第24讲 行程问题（一）

路程、时间、速度是行程问题的三个基本量，它们之间的关系如下：

路程=时间×速度，

时间=路程÷速度，

速度=路程÷时间。

这一讲就是通过例题加深对这三个基本数量关系的理解。

例1 一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，***用115秒。已知每辆车长5米，两车间隔10米。问：这个车队***有多少辆车？

分析与解：求车队有多少辆车，需要先求出车队的长度，而车队的长度等于车队115秒行的路程减去大桥的长度。由“路程=时间×速度”可求出车队115秒行的路程为4×115=460（米）。

故车队长度为460-200=260（米）。再由植树问题可得车队***有车（260-5）÷（5+10）+1=18（辆）。

例2骑自行车从甲地到乙地，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到。如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？

分析与解：这道题没有出发时间，没有甲、乙两地的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度。这就需要通过已知条件，求出时间和路程。

假设A，B两人同时从甲地出发到乙地，A每小时行10千米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到。B到乙地时，A距乙地还有10×2=20（千米），这20千米是B从甲地到乙地这段时间B比A多行的路程。因为B比A每小时多行15-10=5（千米），所以B从甲地到乙地所用的时间是

20÷（15-10）=4（时）。

由此知，A，B是上午7点出发的，甲、乙两地的距离是

15×4=60（千米）。

要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，速度应为

60÷（12-7）=12（千米/时）。

例3 划船比赛前讨论了两个比赛方案。第一个方案是在比赛中分别以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各划行赛程的一半；第二个方案是在比赛中分别以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各划行比赛时间的一半。这两个方案哪个好？

分析与解：路程一定时，速度越快，所用时间越短。在这两个方案中，速度不是固定的，因此不好直接比较。在第二个方案中，因为两种速度划行的时间相同，所以以3.5米/秒的速度划行的路程比以2.5米/秒的速度划行的路程长。用单线表示以2.5米/秒的速度划行的路程，用双线表示以3.5米/秒的速度划行的路程，可画出下图所示的两个方案的比较图。其中，甲段+乙段=丙段。

在甲、丙两段中，两个方案所用时间相同；在乙段，因为路程相同，且第二种方案比第一种方案速度快，所以第二种方案比第一种方案所用时间短。

综上所述，在两种方案中，第二种方案所用时间比第一种方案少，即第二种方案好。

例4 小明去爬山，上山时每小时行2.5千米，下山时每小时行4千米，往返***用3.9时。问：小明往返一趟***行了多少千米？

分析与解：因为上山和下山的路程相同，所以若能求出上山走1千米和下山走1千米一***需要的时间，则可以求出上山及下山的总路程。

因为上山、下山各走1千米***需

所以上山、下山的总路程为

在行程问题中，还有一个平均速度的概念：平均速度=总路程÷总时间。

例如，例4中上山与下山的平均速度是

例5一只蚂蚁沿等边三角形的三条边爬行，如果它在三条边上每分钟分别爬行50，20，40厘米，那么蚂蚁爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？

解：设等边三角形的边长为l厘米，则蚂蚁爬行一周需要的时间为

蚂蚁爬行一周平均每分钟爬行

在行程问题中有一类“流水行船”问题，在利用路程、时间、速度三者之间的关系解答这类问题时，应注意各种速度的含义及相互关系：

顺流速度=静水速度+水流速度，

逆流速度=静水速度-水流速度，

静水速度=（顺流速度+逆流速度）÷2，

水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2。

此处的静水速度、顺流速度、逆流速度分别指船在静水中、船顺流、船逆流的速度。

例6 两个码头相距418千米，汽艇顺流而下行完全程需11时，逆流而上行完全程需19时。求这条河的水流速度。

解：水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2

=（418÷11-418÷19）÷2

=（38-22）÷2

=8（千米/时）

答：这条河的水流速度为8千米/时。

练习24

1.小燕上学时骑车，回家时步行，路上***用50分钟。若往返都步行，则全程需要70分钟。求往返都骑车需要多少时间。

2.某人要到60千米外的农场去，开始他以5千米/时的速度步行，后来有辆速度为18千米/时的拖拉机把他送到了农场，总***用了5.5时。问：他步行了多远？

3.已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥***用120秒，整列火车完全在桥上的时间为80秒。求火车的速度和长度。

4.小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟。已知小红下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间？

5.汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地。求该车的平均速度。

6.两地相距480千米，一艘轮船在其间航行，顺流需16时，逆流需20时，求水流的速度。

7.一艘轮船在河流的两个码头间航行，顺流需要6时，逆流需要8时，水流速度为2.5千米/时，求轮船在静水中的速度。

练习24

1.30分。

提示：骑车比步行单程少用70-50=20（分）。

2.15千米。

解：设他步行了x千米，则有x÷5+（60-x）÷18=5.5。

解得x=15（千米）。

3.10米/秒；200米。

解：设火车长为x米。根据火车的速度得（1000+x）÷120=（1000-x）÷80。

解得x=200（米），火车速度为（1000+200）÷120=10（米/秒）。

4.2时15分。

解：上山用了60×3+50=230（分），由230÷（30+10）=5……30，得到上山休息了5次，走了230-10×5=180（分）。因为下山的速度是上山的1.5倍，所以下山走了180÷1.5=120（分）。由120÷30=40知，下山途中休息了3次，所以下山***用120+5×3=135（分）=2时15分。

5.57.6千米/时。

6.3千米/时。

解：（480÷16-480÷20）÷2=3（千米/时）。

7.17.5千米/时。

解：设两码头之间的距离为x千米。由水流速度得

解得x=120（千米）。所以轮船在静水中的速度为120÷6-2.5=17.5（千米/时）。

第25讲 行程问题（二）

本讲重点讲相遇问题和追及问题。在这两个问题中，路程、时间、速度的关系表现为：

在实际问题中，总是已知路程、时间、速度中的两个，求另一个。

例1甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B地。求A，B两地的距离。

分析与解：先画示意图如下：

图中C点为相遇地点。因为从C点到B点，甲车行3时，所以C，B两地的距离为40×3=120（千米）。

这120千米乙车行了120÷60=2（时），说明相遇时两车已各行驶了2时，所以A，B两地的距离是 （40+60）×2=200（千米）。

例2小明每天早晨按时从家出发上学，李大爷每天早晨也定时出门散步，两人相向而行，小明每分钟行60米，李大爷每分钟行40米，他们每天都在同一时刻相遇。有一天小明提前出门，因此比平时早9分钟与李大爷相遇，这天小明比平时提前多少分钟出门？

分析与解：因为提前9分钟相遇，说明李大爷出门时，小明已经比平时多走了两人9分钟合走的路，即多走了（60+40）×9=900（米），

所以小明比平时早出门900÷60=15（分）。

例3小刚在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，这时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁***用18秒。已知火车全长342米，求火车的速度。

分析与解：

在上图中，A是小刚与火车相遇地点，B是小刚与火车离开地点。由题意知，18秒小刚从A走到B，火车头从A走到C，因为C到B正好是火车的长度，所以18秒小刚与火车***行了342米，推知小刚与火车的速度和是342÷18=19（米/秒），

从而求出火车的速度为19-2=17（米/秒）。

例4 铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路，公路上一辆拖拉机正以20千米/时的速度行驶。这时，一列火车以56千米/时的速度从后面开过来，火车从车头到车尾经过拖拉机身旁用了37秒。求火车的全长。

分析与解

与例3类似，只不过由相向而行的相遇问题变成了同向而行的追及问题。由上图知，37秒火车头从B走到C，拖拉机从B走到A，火车比拖拉机多行一个火车车长的路程。用米作长度单位，用秒作时间单位，求得火车车长为

速度差×追及时间

= [（56000-20000）÷3600]×37

= 370（米）。

例5如右图所示，沿着某单位围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形，甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。已知甲每分走90米，乙每分走70米。问：至少经过多长时间甲才能看到乙？

分析与解：当甲、乙在同一条边（包括端点）上时甲才能看到乙。甲追上乙一条边，即追上300米需

300÷（90-70）=15（分），此时甲、乙的距离是一条边长，而甲走了90×15÷300=4.5（条边），位于某条边的中点，乙位于另一条边的中点，所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。甲再走0.5条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可以看到乙，***需

例6 猎狗追赶前方30米处的野兔。猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步。猎狗至少跑出多远才能追上野兔？

分析与解：这道题条件比较隐蔽，时间、速度都不明显。为了弄清兔子与猎狗的速度的关系，我们将条件都变换到猎狗跑12步的情形（想想为什么这样变换）：

（1）猎狗跑12步的路程等于兔子跑21步的路程；

（2）猎狗跑12步的时间等于兔子跑16步的时间。

由此知，在猎狗跑12步的这段时间里，猎狗能跑12步，相当于兔子跑

也就是说，猎狗每跑21米，兔子跑16米，猎狗要追上兔子30米需跑21×[30÷（21-16）]=126（米）。

练习25

1.A，B两村相距2800米，小明从A村出发步行5分钟后，小军骑车从B村出发，又经过10分钟两人相遇。已知小军骑车比小明步行每分钟多行130米，小明每分钟步行多少米？

2.甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米。已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。

3.小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强的家相距多远？

4.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢长的车长是385米。坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？

5.甲、乙二人同时从A地到B地去。甲骑车每分钟行250米，每行驶10分钟后必休息20分钟；乙不间歇地步行，每分钟行100米，结果在甲即将休息的时刻两人同时到达B地。问：A，B两地相距多远？

6.甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池相对的两个顶点同时出发逆时针行走，两人每分钟分别行50米和46米。出发后多长时间两人第一次在同一边上行走？

7.一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2.1米，狗跳3次的时间兔子跳4次。兔子跑出多远将被猎狗追上？

练习25

1.60米。

解：（2800-130×10）÷（10×2+5）=60（米）。

2.176千米。

3.2196米。

解：因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次走的时间相同，推知小强第二次比第一次少走4分。由（70×4）÷（90-70）=14（分），

推知小强第二次走了14分，第一次走了18分，两人的家相距（52+70）×18=2196（米）。

4.8秒。

提示：快车上的人看见慢车的速度与慢车上的人看见快车的速度相同，

（秒）。

5.10000米。

解：出发后10分钟两人相距（250-100）×10=1500（米）。

米，需要

乙从出发***行了100分钟，所以A，B两地相距100×100=10000（米）。

6.104分。

解：甲追上乙一条边（400米）需400÷（50-46）=100（分），

此时甲走了50×100=5000（米），位于某条边的中点，再走200米到达前面的顶点还需4分，所以出发后100+4=104（分），两人第一次在同一边上行走。

7.280米。

解：狗跑3×3=9（米）的时间兔子跑2.1×4=8.4（米），狗追上兔子时兔子跑了8.4×[20÷（9-8.4）]=280（米）。

第26讲 行程问题（三）

在行程问题中，经常会碰到相遇问题、追及问题、时间路程速度的关系问题等交织在一起的综合问题，这类问题难度较大，往往需要画图帮助搞清各数量之间的关系，并把综合问题分解成几个单一问题，然后逐次求解。

例1 两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1800米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。甲、乙同时出发12分钟后，两人与十字路口的距离相等；出发后75分钟，两人与十字路口的距离再次相等。此时他们距十字路口多少米？

分析与解：如左下图所示，出发12分钟后，甲由A点到达B点，乙由O点到达C点，且OB=OC。如果乙改为向南走，那么这个条件相当于“两人相距1800米，12分钟相遇”的相遇问题，所以每分钟两人一***行1800÷12=150（米）。

如右上图所示，出发75分钟后，甲由A点到达E点，乙由O点到达F点，且OE=OF。如果乙改为向北走，那么这个条件相当于“两人相距1800米，75分钟后甲追上乙”的追及问题，所以每分钟两人行走的路程差是1800÷75=24（米）。

再由和差问题，可求出乙每分钟行（150-24）÷2=63（米），

出发后75分钟距十字路口63×75=4725（米）。

例2 小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。问：甲、乙两地相距多远？

分析与解：如下图所示，面包车与小轿车在A点相遇，此时大客车到达B点，大客车与面包车行BA这段路程***需30分钟。

由大客车与面包车的相遇问题知BA=（48+42）×（30÷60）=45（千米）；

小轿车比大客车多行BA（45千米）需要的时间，由追及问题得到45÷（60-42）=2.5（时）；

在这2.5时中，小轿车与面包车***行甲、乙两地的一个单程，由相遇问题可求出甲、乙两地相距（60+48）×2.5=270（千米）。

由例1、例2看出，将较复杂的综合问题分解为若干个单一问题，可以达到化难为易的目的。

例3 小明放学后，沿某路公***汽车路线以不变速度步行回家，该路公***汽车也以不变速度不停地运行。每隔9分钟就有一辆公***汽车从后面超过他，每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公***汽车。问：该路公***汽车每隔多少分钟发一次车？

分析与解：这是一道数量关系非常隐蔽的难题，有很多种解法，但大多数解法复杂且不易理解。为了搞清各数量之间的关系，我们对题目条件做适当变形。

假设小明在路上向前行走了63分钟后，立即回头再走63分钟，回到原地。这里取63，是由于[7，9]=63。这时在前63分钟他迎面遇到63÷7=9（辆）车，后63分钟有63÷9=7（辆）车追上他，那么在两个63分钟里他***遇到朝同一方向开来的16辆车，则发车的时间间隔为

例4 甲、乙两人在长为30米的水池里沿直线来回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他们同时分别从水池的两端出发，来回***游了11分钟，如果不计转向的时间，那么在这段时间里，他们***相遇了多少次？

分析与解：甲游一个单程需30÷1=30（秒），乙游一个单程需30÷0.6=50（秒）。甲游5个单程，乙游3个单程，各自到了不同的两端又重新开始，这个过程的时间是150秒，即2.5分钟，其间，两人相遇了5次（见下图），实折线与虚折线的交点表示相遇点。

以2.5分钟为一个周期，11分钟包含4个周期零1分钟，而在一个周期中的第1分钟内，从图中看出两人相遇2次，故一***相遇了5×4+2=22（次）。

例4用画图的方法，直观地看出了一个周期内相遇的次数，由此可见画图的重要性。

例5甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山顶时乙距山顶还有400米，甲回到山脚时乙刚好下到半山腰。求从山脚到山顶的距离。

分析与解：本题的难点在于上山与下山的速度不同，如果能在不改变题意的前提下，变成上山与下山的速度相同，那么问题就可能变得容易些。

如果两人下山的速度与各自上山的速度相同，那么题中“甲回到山脚时

山顶的距离是