美国数学教育博士:如何培养孩子的数学？
我读研究生的时候做过一个教学实验，让一个一年级的美国男生算6+7=？。看完这个题目，小男孩淡定地从桌下掰下一只脚，脱下鞋袜，然后从手指头数脚趾。
问题:作为家长，你会如何评价这个小男孩？
不打响指学数学不行吗？这是很多家长头疼的问题。孩子会变得依赖吗？会不会导致计算速度无法提高？这是不是太幼稚太初级了？
之后的几年，项目组的同事每次看这个视频都会忍不住笑出来。从数学教育的专业角度，我们其实是这样评价和分析的:
第一，他能立刻判断出答案应该在10-15的范围内(因为他只脱了一只鞋)，说明他的数字感很好；
第二，他知道在操作的过程中，他借助身边的工具把一个抽象的公式具体化。
小学数学学习离不开数感的培养，而数感的培养离不开工具的使用。所以，
到底什么是数感？
我能用手指吗？
怎么用手指？
1.什么是数感？
在小学数学教育中，无论是中国还是美国，数字和计算都是教学内容的主要部分。而这部分是建立在良好的数感基础上的。那么，什么是数感呢？
单词number sense是直接从英语短语number sense翻译过来的。它的含义很广，指的是孩子可以灵活运用数字。根据NCTM(美国全国数学教师委员会)的定义，数的意义大致应该包括以下几个方面:
-理解数字以及不同的数字是如何表示的。
-了解数字与我们的数制(如十进制或二进制)的关系。
——了解不同的操作，知道不同操作之间的关系。
-你可以在现实生活中使用数字。
数感是如何培养的？认知心理学一般认为，儿童在很小的时候，就可以通过日常生活经验积累对一些数学概念的直观感受，如大小、数字、前后、高低、远近等。
全家喝汤需要几勺？我们今天有客人。我们还需要多少？从家到学校需要多长时间？买一个玩具要花多少钱？这两个香蕉哪个多，多多少？
这些对话让数学成为孩子们日常生活中不可或缺的一部分。入学后，在这些数学对话的基础上，孩子要开始学习一系列形式上的数学表达式，如小数、加减、乘除(竖式)、数的除法和积分、加法和结合律、加法交换律、乘法和分配率、小数、分数、百分数、比例等等。
数感还包括孩子知道6+17，17+6，16+7都是一样的，能用自己的语言说出为什么是一样的；四15大于50，为什么？关于一部电梯能装多少人，那么多人排队我们要等好几部电梯，等等。
但是需要注意的是，很多家长或多或少都有一个错觉，就是形式运算是更高级的数学。一旦孩子开始学习，日常生活中的数学对话就是落后的、低级的、不必要的。取而代之的是练习，熟练，反复练习。总之，孩子的数学学习要交付给学校的模式。
按照这种思路，打响指显然不够高级，不够正式。老是弹弹手指做算术，怎么能掌握数学原理？家长会有这个顾虑。
2.我能用手指吗？
答案很简单粗暴:有！不仅可以用，还应该鼓励。为什么？
我们来看看人类计数的历史。
首先，我们来做一个情境代入。如果你生活在公元前9000年的美索不达米亚，你就是一个牧羊人。你需要每天把羊放出去吃草，晚上看看每只羊有没有回来。然而不幸的是，这个时候还是新石器时代，数字还没有被发明出来，也没有计数系统。换句话说，你还不会数数。这时候你该怎么办？
您可能会想到几种解决方案:
方法1:你从四面八方找来很多石头，打开羊圈放羊出去吃草的时候，每当有羊从你身边经过，你就在羊圈门口堆一块石头，直到它变成一堆，剩下的石头都扔得远远的。晚上羊回来的时候，把石头从堆里一个一个的搬走。如果没有剩下最后一个，你会知道他们都回来了。就拿石头数羊，日复一日，来来回回。
方法二:找个树桩。早上羊群经过你身边的时候，看到一只羊就在树桩上画一条细细的小路。晚上羊回圈的时候，一只回来就在巷子旁边画一个圈；第二天早上，在每个圈旁边画一条路，用树桩画圈的方法数羊，日复一日，一个循环。当然，写不出来的时候，还得换残肢。
这两种方法都有* * *相似性，都是用一一对应的方法来记录羊的数量。一块石头、一条细细的路或一个圆圈对应一只羊。仔细想想，你会发现这其实和用手指数数是一样的——每根手指对应的是数字“1”所代表的数字。
当孩子不熟悉抽象的阿拉伯数字时，他们需要一切方便易得的工具来帮助记录数量和数量的变化。就像人类文明早期的这个牧羊人。对于孩子来说，有什么比手指更简单方便？
从人类计数的历史来看，用手指计数很正常。甚至很多专门研究计数史的学者都认为，人类最早的计数方法是用手指计数。
之后逐渐出现了石刻，然后这些道路又分成了几组。然后出现了进位机制，然后是十进制，直到阿拉伯数字从印度传到西方，现代数学的符号基础才逐渐稳固。
如果你注意观察，你会发现这种分组方法是以8为单位的。
每一个阿拉伯数字都是一个抽象的数学符号，孩子需要很长时间才能逐渐把这个符号和它后面代表的数字结合起来。在那之前，用手指数是一种自然简单的方法。
听听神经科医生怎么说。
在2015的一项神经学研究中，学者Llaria Berteletti和James R. Booth分析了人类的大脑。他们发现大脑的某个部位可以“看见”我们的手指。8-13岁的学生在做减法题的时候，大脑的这一部分会亮起来，即使没有断指。
其他学者也发现，一年级的孩子如果熟练使用手指，二年级的孩子比较和估计数字的能力会更强。当研究人员训练6岁的孩子有一些“手指意识”时，孩子不仅提高了算术能力，将来数学学习成功的可能性也更大。
当然，这些研究并不意味着儿童可以通过打响指来开启神秘的大脑能量。而是在一个适当的阶段，当孩子需要的时候，给孩子一个人类已经使用了很久的自然计数工具，从长远来看对孩子的数学学习是有帮助的。
最后参考数学教育专家的意见。
斯坦福大学的Jo Boaler教授常年致力于提高美国小学生的数学学习体验和效果。她在研究中发现，手指辅助操作可以帮助孩子更好地学习数学。她认为，在教授孩子基本概念的过程中，使用手指非常重要，这也关系到孩子未来的数学智商。强行禁止孩子使用手指辅助运算，很可能会伤害他们的数学能力发展。
手指对于刚开始接触正规数字的孩子来说，是一个桥梁和过渡。“手指是我们最有用的视觉辅助系统，对于提高数学理解和大脑发育至关重要。这个角色会一直持续到成年。”
“当学生不擅长记忆，或者对数字运用不是很熟练的时候，往往会找视觉或者其他辅助工具。而这让我们很多最伟大的科学家，比如爱因斯坦、爱迪生，在年轻的时候都被老师认为很蠢。”
总结一下:能掰手指吗？
孩子做算术会掰手指吗？
是的。
孩子学好数学一定要打响指吗？
不会，但是脑神经研究结果表明，手指的训练和使用有助于大脑的发育和数学能力的培养。
会不会造成依赖？
不。这只是一个过渡。随着了解的深入，自然会放弃。走了以后一定要爬吗？
我小时候学的。
1.你小时候没用过，不代表你孩子不会用。你小时候没用过互联网。
你可能不记得小时候学数学的痛苦。
你能让孩子戒掉吗？
可以试试。有以下一个或多个后果。
1.你不在的时候孩子偷偷用，或者干脆用计算器。对了，我个人不提倡小学生使用计算器，除非是专门设计的课堂活动。关于为什么小学生最好不要用计算器，我会在下期问答专栏中回答。
2.孩子操作的速度和准确性会下降。
3.孩子学习数学会有畏难情绪，如果不及时调整，会影响学习数学的兴趣。
4.父母提供其他替代工具，孩子慢慢放弃使用手指。
5.当然，还有一种可能，你的孩子可以很容易地戒掉打响指(或者根本不戒)，因为他/她在数学方面很有天赋。
3.如何使用手指和其他工具？
现在你不应该担心能不能让孩子断了手指。下面的问题是如何使用手指或其他工具。
这里又涉及到数感的概念。数感不是简单的数(三声)和数(四声)，而是知道数“量”是如何变化的，明白一个量变的因果关系。简单的死记硬背9X9乘法表或者背圆周率小数点后100位，与数感无关。
在培养数感的过程中，有两种能力是非常重要的，那就是观察数的模式和对数进行分组或划分。
比如下图，有四个网球拍。家长可以问孩子，这张图有几个球拍？
他们会说四个，那你可以问他们，你怎么知道这是四个球拍？
他们可能会说，2 +2 =4。
也可能说这是1 +1 +1和+1。
然后对比两种方法，会发现2+2明显比1+1+1+1更先进。为什么更高级？因为这种方法效率更高。能一眼看出图中有两个2，就能在视觉画面和量之间建立直接联系。简单地说，这是观察数量的模式。
比如下图，孩子从图中看到了哪些关系？乍一看，最直观的可能是5+3 = 8；如果多花点时间，给点指导，孩子可能会看到8+2=10，甚至10-2=8。
接触更多的量变后，孩子会知道5+5=10，7+3 = 10；甚至可以推导出一系列其他方法来得到10这个数。我们可以灵活地把10分成8和2，或者分成7和3，甚至5+3+2，这就是我们所说的分组。
初始数感的建立需要经历从具体到抽象的过程，数学学习离不开构建数学形象。而不是让孩子用抽象的公式来表达？+?= 8，不如你给八个香蕉(或者八个什么的)，问问他/她这八样东西在两个孩子之间怎么分，有几种分法，你最喜欢哪个，为什么？
多问一些开放性的问题，给孩子一个说出自己推理和思考过程的机会，比每天逼着孩子做10的算术题更能激发数学学习的热情。
那么，手指能帮助孩子看到什么样的数量图案，又能帮助孩子做什么样的数量分割呢？
问题:你有没有想过我们的十进制是怎么来的？
小贴士:掰手指就知道了。
是的，我们手里全是人类数学发展史。玛雅的20进制，其他古文明的12进制，还有我们现在用的十进制。使用10手指，不仅可以清晰地表达1-10的不同数字，还可以帮助孩子快速识别每个数字对应的手指规则。例如，5是一只手的所有手指，6是一只手加上一个多余的手指。
用两只手就能演示10=？+?各种方法。每种方法都是对10这个数的再除法，我们可以用手指演示这个除法过程。
更高级的，有没有想过数字超过10怎么办？18应该怎么表达？最简单的方法，我们可以一起数脚趾，就像我们文章开头那个脱袜子的小男孩。
和他不同的是，我们可以和孩子做一个约定，每当我们集齐10个手指，我们就用1个脚趾做标记。手脚并用，可以有各种数字游戏:比大小，猜数字，凑成100。在这样一个博弈的过程中，你在传递一个更重要的数学概念，10。
当孩子通过打响指对数字有了更深的理解，并在具体数字(几个手指)和对应的阿拉伯数字之间建立了更强的联系，自然会减少对手指的依赖，学会更快更高效的方法。谁会坚持愚蠢的方法？
在这个过程中，家长当然可以给孩子提供其他替代工具来辅助孩子的计算。比如家里的日用品，牙签，米粒，火柴，或者一些简单易用的数学工具，比如可拆卸的塑料颗粒。
塑料颗粒的好处是我们可以随时组装5，8，10以及它们不同的形状，让孩子对数量的表象和规律有进一步的认识。
在下一篇关于数学教育的文章中，我们将讨论更多的手指游戏和其他有助于培养孩子数字感的家庭数学游戏。
写在最后
今天讲了很多次手指，连脚趾都出现了好几次。我这么说不仅仅是因为这是一个普遍的问题，更重要的是背后的观念对孩子有影响。
从早期人类文明的牧羊人到高科技时代的孩子们，用图像和便捷的工具来理解和使用数字是一致的，也是自然的。我们需要看到，日常生活中的数学对话和学校里学到的正式的数学符号还有很长的学习距离。在这个过程中，深度比速度更重要。问孩子为什么和如何提问比知道答案更重要。
进入初中后，一般情况下，所有孩子都能熟练掌握四则运算。回想小学阶段，家长和孩子为了数学生气，那些都成了浮云。但是，虽然所有的知识都可以掌握，但是孩子如何掌握四则运算，四则运算对他们意味着什么，往往决定了他们以后对数学的态度。
对于父母来说，帮助孩子学好数学的第一步是摆脱他们的数学神话，为他们提供所需的帮助和过渡，从看到孩子折断手指甚至脱掉鞋子和脚趾的愉悦开始。