急！！数学专家请进！有几个问题要问。
系列
用加号将u1，u2，…，un，…项按顺序连接起来的函数。一系列术语的简称。比如U1+U2+…+un+…，缩写为un，称为级数的通项，称为级数的部分和。如果当m→∞，数列Sm有极限S，则称该数列收敛，取S为其和，记为否则称该数列发散。级数是研究函数的重要工具，在理论和实际应用中有着重要的作用。这是因为:一方面，很多常用的非初等函数都可以用级数表示，微分方程的解也往往用级数表示；另一方面，函数可以表示为级数，这样就可以用级数的方法研究函数，比如用幂级数研究非初等函数，进行近似计算。级数的收敛性是级数理论的基本问题。从级数敛散性的概念来看，级数的敛散性是由其部分和序列Sm的敛散性来定义的。因此，我们可以从级数收敛的柯西准则得到级数收敛的柯西准则:当任意给定的正数ε收敛时，必有自然数n，当n > n时，对于所有自然数P，有| un+1+un+2+…+un+p | < ε，即任意全后向段之和的绝对值可以任意小。
若每个un≥0(或un≤0)，称为正(或负)项级数，正项级数和负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是它的部分和序列Sm有一个上界，例如收敛，因为有无穷个正项和无穷个负项的级数叫做变号级数，最简单的级数叫做交错级数。判断这类级数收敛的基本方法是莱布尼兹判别式:如果un ≥un+1，对任意n∈N成立，交错级数收敛。例如
趋同。对于一般的变号级数，如果有收敛，称为绝对收敛。如果只有收敛，而有发散，则称为变号级数的条件收敛。比如绝对收敛，但只是条件收敛。
如果级数的每一项都依赖于变量X，且X在某一区间I内变化，即UN = UN (X)，x∈I，则称为函数项级数，简称函数级数。若x = x0使几项级数收敛，则x0称为收敛点，收敛点集称为收敛域。如果级数对每个x∈I收敛，I称为收敛区间。显然，函数级数在其收敛域内定义了一个函数，称为和函数S(x)，即如果满足更强的条件，它在收敛域内一致收敛于S(x)。
一类重要的函数级数是有形状的级数，称为幂级数。它的结构简单，收敛区域是一个中心区间(不一定包括端点)，在一定范围内具有多项式性质，可以在收敛区间内进行逐项微分和逐项积分运算。比如幂级数的收敛区间是[1，3]，幂级数收敛在实数轴上。
-
数学分析是数学专业的必修课之一，基本内容是微积分，但与微积分有很大区别。
微积分是微分学和积分学的通称，英文简称计算。这是因为早期的微积分主要用于天文学、力学和几何学中的计算问题。后来人们又叫微积分分析，或称无穷小分析，特指利用无穷小或无穷等极端过程来分析和处理计算问题的知识。
早期的微积分因为不能令人信服地解释无穷小的概念而长期得不到发展。柯西和后来的维尔斯特拉斯为微积分奠定了坚实的理论基础，微积分逐渐演变为一门非常严格的数学学科，被称为“数学分析”。
数学分析的基础是实数理论。实数系统最重要的特征是连续性。只有有了实数的连续性，才能讨论极限、连续性、微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起数学分析的严格理论体系。
-
微积分的英文名:Calculus
微积分是数学的一个分支，研究函数的微分和积分以及相关的概念和应用。微积分的基础是实数、函数和极限。
极限和微积分的概念可以追溯到古代。十七世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参与过的准备工作，独立建立了微积分。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小，理论基础不扎实。直到19世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等人建立了严格的实数理论，这门学科才得以严谨。
微积分是联系实际应用而发展起来的，广泛应用于天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学和应用科学的各个分支。尤其是计算机的发明，更有利于这些应用的不断发展。
微积分是微分学和积分学的统称。
客观世界的一切，从粒子到宇宙，总是在运动变化的。所以在数学中引入变量的概念后，才有可能在数学中描述运动现象。
由于函数概念的产生和应用，以及科学技术发展的需要，继解析几何之后产生了一门新的数学分支，这就是微积分。微积分在数学的发展中起着非常重要的作用。可以说是继欧几里得几何之后，所有数学中最大的创造。
微积分的建立
微积分成为一门学科的话，是在十七世纪，但是微分和积分的思想在古代就已经有了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物线拱面积、球面与球冠面积、螺线下面积、旋转双曲线体积等问题时，就隐含了现代积分学的思想。极限理论作为微分学的基础，早在古代就有明确的论述。比如我国庄周写的《庄子》一书中就记载“一尺之空间，用之不竭。”三国时期的刘徽在他的《割圆》中提到“割得细，损得少，再割，连周长和身都不损。”这些是简单而典型的极限概念。
在十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题成为了促使微积分产生的因素。归纳起来，主要有四类问题:第一类是学习体育时直接出现的问题，即求瞬间速度的问题。第二类问题是求曲线的切线。第三类问题是求一个函数的最大值和最小值。第四个问题是求曲线的长度，曲线围成的面积，曲面围成的体积，物体的重心，一个体积相当大的物体作用在另一个物体上的重力。
17世纪许多著名的数学家、天文学家和物理学家为解决上述问题做了大量的研究工作，如费马、笛卡尔、罗博伊斯和吉拉德·笛沙格。英国的巴罗和瓦里斯；德国的开普勒；意大利人卡瓦列里等人提出了许多卓有成效的理论。为微积分的创立做出了贡献。
17世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨在前人工作的基础上，在各自国家独立研究并完成了微积分的创立，尽管这只是一个非常初步的工作。他们最大的成就是把两个看似不相关的问题联系起来，一个是切线问题(微分学的中心问题)，一个是求积问题(积分学的中心问题)。
牛顿和莱布尼茨从直观的无穷小建立了微积分，所以这门学科早期也叫无穷小分析，这也是现在数学大分支名称的来源。牛顿对微积分的研究侧重于运动学，而莱布尼茨侧重于几何学。
牛顿在1671写了《流法与无穷级数》，直到1736才出版。在这本书里，牛顿指出变量是由点、线、面的连续运动产生的，否认变量是无穷小元素的静态集合。他把连续变量叫做流量，这些流量的导数叫做流量数。牛顿在流数技术中的中心问题是:知道连续运动的路径，求给定时刻的速度(微分法)；给定运动速度，求给定时间内走过的距离(积分法)。
德国的莱布尼茨是一位学识渊博的学者。1684年，他发表了被认为是世界上最早的微积分文献。这篇文章有一个很长很奇怪的名字:求极大极小和正切的新方法，同样适用于分数和无理数，以及这种新方法的计算的奇妙类型。就是这样一篇推理模糊的文章，却具有划时代的意义。他因包含现代微分符号和基本微分定律而闻名。1686年，莱布尼茨发表了第一篇关于积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学学者之一，他创造的符号远远优于牛顿的符号，对微积分的发展影响很大。我们现在使用的微积分通用符号，是莱布尼茨当时精心选择的。
微积分的建立极大地促进了数学的发展。以前很多初等数学束手无策的问题，往往用微积分就能解决，可见微积分的非凡威力。
如前所述，一门科学的建立绝不是一个人的成就。必须是一个人或者几个人经过很多人的努力，在积累了很多成果的基础上完成的。微积分也是。
不幸的是，在人们欣赏微积分的宏伟功能的同时，当他们提出谁是这门学科的创始人时，实际上引起了轩然大波，造成了欧洲大陆数学家和英国数学家之间的长期对立。英国数学有一段时间闭关锁国，受限于民族偏见，过于拘泥于牛顿的“流量计数”，所以数学的发展落后了整整一百年。
事实上，牛顿和莱布尼茨各自独立研究，并在大致相同的时间内完成。更特别的是，牛顿比莱布尼茨早约10年创立微积分，但莱布尼茨比牛顿早三年发表微积分的全部理论。他们的研究有利也有弊。当时由于民族偏见，关于发明优先权的争论实际上从1699持续了100多年。
需要指出的是，这和历史上任何重大理论的完成是一样的，牛顿和莱布尼茨的工作也是很不完善的。在无穷和无穷小的问题上，他们有不同的看法，这是很模糊的。牛顿的无穷小，有时为零，有时不是零而是有限的小量；莱布尼茨的不能自圆其说。这些基本缺陷最终导致了第二次数学危机。
直到19世纪初，以柯西为首的法国科学院的科学家们对微积分理论进行了认真的研究，建立了极限理论，并由德国数学家威尔斯特拉斯进一步收紧，使极限理论成为微积分的坚实基础。只有这样，微积分才能进一步发展。
任何新兴的、有前途的科学成果都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上，也有一些明星:瑞士的雅克·伯努利和他的兄弟约翰·伯努利，欧拉，法国的拉格朗日，柯西…
古代和中世纪的欧几里得几何和代数都是常数数学，微积分才是真正的变量数学，是数学上的大革命。微积分是高等数学的主要分支，并不局限于解决力学中的变速问题。它驰骋在现代科技的花园里，成就了无数伟业。
微积分的基本内容
从数量方面研究事物的功能和运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。
本来广义上的数学分析包括微积分、函数论等很多分支，但现在普遍用来把数学分析等同于微积分，数学分析成了微积分的代名词。说到数学分析，已知指的是微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。
微分学的主要内容包括:极限理论、导数、微分等。
积分的主要内容包括定积分、不定积分等。
微积分是在应用中发展起来的。起初，牛顿应用微积分和微分方程从万有引力定律推导出开普勒的行星运动三定律。此后，微积分极大地促进了数学的发展，也极大地促进了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学和应用科学的发展。并且在这些学科中应用广泛，尤其是计算机的出现更有利于这些应用的不断发展。
一元微分
定义
设函数y = f(x)定义在一个区间内，x0和x0+δ x都在这个区间内。如果函数的增量δy = f(x0+δx)？F(x0)可表示为δ y = a δ x0+o (δ x0)(其中a是与δ x无关的常数)，o (δ x0)无限小于δ x，则称函数F(x)在点x0可微，a δ x称为函数在点x0对应于自变量增量δ x的微分，记为dy，即dy =
通常自变量x的增量δx称为自变量的微分，记为dx，即dx =δx x .那么函数y = f(x)的微分可以写成dy = f'(x)dx。函数的微分和自变量的微分的商等于函数的导数。所以衍生的也叫微信业务。
几何意义
设δx为横坐标y = f(x)上曲线上m点的增量，δy为纵坐标上δx对应的m点上曲线的增量，dy为纵坐标上δx对应的m点上曲线切线的增量。当|δx |很小时，|δy-dy |远小于|δy-dy |(高阶无穷小)，所以在m点附近，我们可以用一条切线段来近似曲线段。
多元微分
同样，当有多个自变量时，可以得到多元微分的定义。
积分是微分的逆运算，即知道一个函数的导函数，反求原函数。在应用中，积分的作用不仅于此，它还广泛应用于求和，就是求弯曲三角形的面积。这种巧妙的求解方法是由积分的特殊性质决定的。
一个函数(也称原函数)的不定积分指的是另一个函数族，这个函数族的导函数正好是前一个函数。
其中:[F(x)+C]' = f(x)
实变函数在区间[a，b]上的定积分是实数。它等于B中的值减去这个函数的一个原函数在A中的值。
-
概率论
概率论
研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。某种结果在一定条件下必然发生的现象称为决定性现象。比如在标准大气压下，纯水加热到100℃，水必然会沸腾。随机现象是指在相同的基本条件下，一系列实验或观察会得到不同结果的现象。每次实验或观察之前，都不确定会出现什么样的结果，表现出偶然性。比如抛硬币，可能有正面也可能有反面，同样工艺条件下生产的灯泡寿命参差不齐。随机现象的实现及其观察称为随机实验。随机测试的每一个可能的结果称为基本事件，一个基本事件或一组基本事件统称为随机事件，或简称为事件。事件的概率是对事件发生可能性的一种度量。虽然随机试验中一个事件的发生是偶然的，但那些在相同条件下可以大量重复的随机试验往往表现出明显的数量规律。比如你连续多次投掷一枚均匀的硬币，随着投掷次数的增加，人头出现的频率会逐渐趋向于1/2。再如，多次测量物体的长度时，随着测量次数的增加，测量结果的平均值逐渐稳定在一个常数上，大部分测量值落在这个常数附近，其分布呈现一定程度的对称性。大数定律和中心极限定理描述并演示了这些定律。在现实生活中，人们往往需要研究一个特定随机现象的演化。比如液体中的微小颗粒被周围的分子随机碰撞形成不规则运动(布朗运动)，这是一个随机过程。随机过程的统计特征，与随机过程相关的某些事件的概率的计算，特别是对随机过程的样本轨迹(即过程的一次性实现)相关问题的研究，是现代概率论的主要课题。概率论与现实生活密切相关，广泛应用于自然科学、技术科学、社会科学、军事和工农业生产中。
概率论的起源与赌博有关。16世纪，意大利学者开始研究骰子等赌博中的一些简单问题。17世纪中叶，法国数学家b·帕斯卡、p·德·费马和荷兰数学家c·惠更斯基于排列组合方法研究了一些复杂的赌博问题，他们解决了分注和赌客输钱的问题。随着18和19世纪科学的发展，人们注意到一些生物、物理和社会现象与机会游戏之间存在着某种相似性，于是起源于机会游戏的概率论被应用于这些领域；同时，也极大地促进了概率论本身的发展。概率论作为数学分支的创始人是瑞士数学家j·伯努利(J. Bernoulli)，他建立了概率论中的第一个极限定理，即伯努利大数定律，并阐述了事件发生的频率稳定于此的概率。然后A.de de moivre和p s laplasse推导出了第二个基本极限定理(中心极限定理)的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率论》，给出了概率的明确的经典定义，并将更有力的分析工具引入概率论，将概率论推向了一个新的发展阶段。19年底，俄罗斯数学家P.L .切比雪夫、A.A .马尔科夫、A.M .李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律和中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实践中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。在20世纪初物理学的刺激下，人们开始研究随机过程。在这方面，安德雷·柯尔莫哥洛夫、韦纳、马尔科夫、欣钦、列维和费雷尔都做出了杰出的贡献。
如何定义概率，如何将概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率论发展中的难点，对这个问题的探索已经持续了三个世纪。20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论，以及后来发展起来的抽象的测度与积分理论，为概率论公理体系的建立奠定了基础。在此背景下，苏联数学家安德雷·柯尔莫哥洛夫在他的著作《概率论的基础》1933中第一次给出了概率的测度论的定义和严格的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使其成为一门严谨的数学分支，对概率论的迅速发展起到了积极的作用。