孙子定理的实例分析

采用一种通用的方法:逐步满足法。

将1除以5的数从小到大排序:1，6，11，16，21，26，...

然后从小到大我们发现最小的是11。

所以11是理想的数字。

先满足一个条件，再满足另一个条件，所以叫“逐步满足法”。

例2:一个数除以5是1，除以3是1。最小数量是多少？(1除外)

特殊方法:最小公倍数法

除以5，剩下1:表示这个数减去1后是5的倍数。

除以3，剩下1:表示这个数减去1后也是3的倍数。

所以这个数减去1就是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数减去1就是3和5的最小公倍数。即这个数减去1后是15，所以这个数是15+1 = 16。

例3:一个数除以5是4，除以3是2。最小数量是多少？

在这种情况下，也可以使用最小公倍数法。

一个数除以5，就大于4，也就是说这个数加上1就是5的倍数。

这个数除以3大于2，也就是说这个数加上1也是3的倍数。

所以这个数加上1就是3和5的公倍数。要求最低，所以这个数加上1是3和5的最小公倍数。即这个数加上1后是15，所以这个数是15-1 = 14。

对于多个数，比如三个数，有时其中两个可以用特殊方法，那么先用特殊方法找到满足两个条件的数，再用一般方法找到满足最后一个条件的数。

例4:有一个数1，除以7，剩下2。除以8还剩下4，除以9还剩下3，这个数最少是多少？

被7和2除的数可以写成7n+2。

像7n+2这样的数被8和4除。由于2被8和2除，所以需要7n被8和2除。

7n除以8大于2，7除以8大于7。如果N除以8且大于6(乘数的余数等于余数的乘积)，那么N的最小值就是6。

所以满足“除以7和2，除以8和4”的最小数是7×6+2=44。

所有满足“7除2，8除4”要求的数都可以写成44+56×m m。

要求44+56×m除以9加3。由于44被9和8除，所以要求56×m被9和4除。(补遗等于余数)

56×m除以9和4，由于56除以9和2，要求m除以9和2(乘数等于余数的乘积)，所以m最小。

所以满足“除以7和2，除以8和4，除以9和3”的最小数是44+56×2=156。

例5:三-三数剩二，五-五数剩三，七七数剩二。请教几何？

也就是一个整数除以3和2，除以5和3，除以7和2，求这个整数。

除以3和2，7和2处的数可以写成21n+2。

21n+2除以5余数3需要21n除以5余数1。

如果21n除以5余数1，21除以5余数1，要求N除以5余数1(乘数的余数等于余数的乘积)，则N的最小值为1。

所以满足“除以3等于2，除以5等于3，除以7等于5”的最小数是21×1+2=23。

标准解法:首先从3和5、3和7、5和7的公倍数中找出分别被7、5和3整除的较小数15、21、70。(注:这一步也叫模逆运算，利用扩展的欧几里德方法和计算机编程可以相对较快地得到。当然，对于非常小的数量，即

15 ÷ 7 = 2 ...剩余1，

21 ÷ 5 = 4 ...剩余1，

70 ÷ 3 = 23 ...剩余1。

然后将所需数除以7、5和3所得余数的乘积乘以三个较小的数，

15×2+21×3+70×2=233.(用I代替233，程序可以找到。)

最后，总和233除以除数3、5和7的最小公倍数。

233 ÷ 105 = 2 ...余23，

这个余数23是合格的最小数。

例6:一个数被5除、被6除、被3除，最小的数是多少？

题目可以看做:除以5，除以6，除以4，除以7，除以4。看到那个“4除以6，4除以7”了吗？如果有同余，只要找到6和7的最小公倍数，加上4，就是满足以下条件的数，6X7+4=46。

接下来我们来试试46能不能满足第一个条件“一个数除以5，余数是2”。如果不行，就把46加上6和7的最小公倍数，42，直到能满足“一个数除以5，余数是2”的要求。之所以有这一步，是因为42是6和7的最小公倍数，无论怎么加，都会满足“被6比4除，被7比4除”的条件。

46+42=88

46+42+42=130

46+42+42+42=172

例7:一个班的学生分组玩游戏。如果每组三个人，那就多两个人，每组五个人，每组四个人。这个班有多少学生？

题目可以看做:除以3比2多，除以5比3多，除以7比4多。在没有同余的情况下，采用的方法是“逐步约束法”，即从“除7和4以外的数”中，找出符合“除5和3以外的数”的数，即将4加到7上，直到得到的数除以5和3。号码是18。只需将7和5的最小公倍数35加到18，直到满足“除3余2”即可。

4+7=11

11+7=18

18+35=53