（2004?无锡）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交

（1）证明：设正方形边长为a，DE为x，则DM=

a
2
，EM=EA=a-x

在Rt△DEM中，∠D=90°，

∴DE2+DM2=EM2

x2+（

a
2
）2=（a-x）2

x=

3a
8

EM=

5a
8

DE：DM：EM=3：4：5；

（2）解：△CMG的周长与点M的位置无关．

证明：设CM=x，DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，

∵∠EMG=90°，

∴∠DME+∠CMG=90度．

∵∠DME+∠DEM=90°，

∴∠DEM=∠CMG，

又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，

∴

CG
DM
＝
CM
DE
＝
MG
EM
即
CG
2a?x
＝
x
y
＝
MG
2a?y

∴CG=

x(2a?x)
y
，MG＝
x(2a?y)
y

△CMG的周长为CM+CG+MG=

4ax?x2
y

在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2

即（2a-x）2+y2=（2a-y）2

整理得4ax-x2=4ay

∴CM+MG+CG=

4ax?x2
y
=
4ay
y
=4a．

所以△CMG的周长为4a，与点M的位置无关．