将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．

江苏沭阳随园中学初二徐老师

证明：（1）设正方形边长为a，DE为x，则DM= a2，EM=EA=a-x

在Rt△DEM中，∠D=90°，

∴DE2+DM2=EM2

x2+（ a2）2=（a-x）2

x= 3a8

EM= 5a8

DE：DM：EM=3：4：5；

（2）△CMG的周长与点M的位置无关

证明：设CM=x，DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，

∵∠EMG=90°，

∴∠DME+∠CMG=90度．

∵∠DME+∠DEM=90°，

∴∠DEM=∠CMG，

又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，

∴ CGDM=CMDE=MGEM即 CG2a-x=xy=MG2a-y

∴CG= x(2a-x)y，MG=x(2a-y)y

△CMG的周长为CM+CG+MG= 4ax-x2y

在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2

即（2a-x）2+y2=（2a-y）2

整理得4ax-x2=4ay

∴CM+MG+CG= 4ax-x2y= 4ayy=4a．

所以△CMG，的周长为4a，与点M的位置无关．给最佳啊！！