取区间(0，a)中点左边的随机点和右边的随机点求(x，y)的概率密度和分布函数以及z=xy的概率密度？

这篇文章略有不同。这里我们将做一道数学题。很多人可能自己解决或者在一些论坛上找到答案。我相信这是我们很多人真正喜欢的问题。因为这个看似简单而基本的问题背后有着深刻的数学哲学。

问题陈述

我们玩以下游戏:

让S = 0。从[0，1]的区间中均匀随机选取一个实数x。设s = s+x，如果S > 1，则停止，否则请转到步骤2。

我想澄清一下，上面第二步中的每个随机选择都是独立的。

现在的问题是:

我们选择的随机数的期望个数是多少？换句话说，在流程终止之前，我们将执行步骤2的预期次数是多少？

我鼓励所有读者就此打住，花几分钟思考一下如何解决上述问题。

一个简单的计算实验

在深入研究这个问题的解决方案之前，我们可能会试图了解答案是什么样的。因为所描述的过程非常简单，所以我们可以很容易地对它进行编程。下面是解决这个问题的Python代码:

import random def play game(n):count = 0 for I in range(n):S = 0.0 while S & lt；1: S = S + random.uniform(0，1)count = count+1 return(count/n)def main():n = 1000000 RES = PlayGame(n)print("预期数为"+str(RES))if _ _ name _ _ = " _ _ main _ _ ":main()

运行代码，我得到了一个答案:

解决这个问题

让y代表我们在实现过程中必须做出的选择的预期数量。y是具有整数值的随机变量。根据预期的定义，我们有:

上式右边有一个方便的改写方法，那就是:

我们现在注意我们得到的最后一个双和，并观察它:

因此，我们得出结论:

换句话说，我们把原来的问题简化成下面的问题。

从[0，1]区间随机选取的k个独立实数之和不大于1的概率是多少？

为了回答上述问题，我们定义了以下集合，它们被称为(k-1)维单形:

我们还定义了一个非常密切相关的集合，即:

为了理解为什么上述集合是相关的，我们观察如下。给定[0，1]区间内的k个随机实数(实验的每一种可能结果)，即每个实数k元组对应单位超立方体中的一个点，即:

由于我们随机均匀抽取数字，所以一个事件的概率直接对应于超立方体中实现该事件的每个点的体积。因此，我们可以这样写:

因为vol(H)= 1。我们得出结论，剩下要计算的是集合q的体积，下面的结果是一个众所周知的定理。虽然它的证明很简单，但为了使解释不那么复杂，我们跳过它。

当k = 2时，上述定理对应的是一个红色三角形的面积，它包含所有加起来不超过1的数对。很容易看出，三角形的面积是单位正方形的一半，所以是1/2。将所有东西放在一起，我们得到:

这对应于指数函数e x的泰勒展开式，取x = 1处的值。对于每个实数x:

代入x = 1，我们得到:

所以，我们原问题的答案是欧拉常数，e。