数学里有黑洞？黑洞的神奇数量

从物理学的角度来看，黑洞其实是一颗行星，只是物质密度极高，引力极强。任何经过它的东西都会被它吸引，永远出不来，包括光。因此，我们的眼睛除了黑色什么也看不见，所以它是一个不发光的天体，因此得名黑洞。

由于它不发光，人们无法通过肉眼或观测仪器发现它的存在，只能通过理论计算或根据光线穿过其附近时产生的弯曲现象来判断它的存在。自黑洞理论提出以来，著名物理学家爱因斯坦和霍金都肯定了黑洞的存在，大多数科学家多年来致力于寻找黑洞确切存在的证据，以完善黑洞理论。被誉为“活着的最伟大的科学家”、“又一个爱因斯坦”的著名物理学家霍金，一生致力于黑洞的研究，为物理学史上的黑洞研究做出了巨大贡献。但由于黑洞研究的复杂性，涉及到动力学、热力学和量子力学的大量知识，所以对黑洞的进一步认证仍然是21世纪的科学难题之一。

有趣的是，天体物理学中的黑洞现象在数学中也存在，被称为“数学黑洞”。所谓数学黑洞，就是一种数。如果把其他任何一个数转化成这个数，然后按照同样的规律变化，它就永远是这个数，永远跳不出来。

今天我们一起来研究这样一个有趣的数字——黑洞的数量。

1.四位数的黑洞

随意写一个四位数，每个数字中的位数不全相等(应排除111，222，333等四位数)。用这个四位数的每一位中的位数组成一个最大数和一个最小数，用最大数减去最小数得到一个新的四位数(如果差等于0，222，333)对新得到的四位数重复上述操作。你最后发现了什么？

以四位数4194为例，我们可以重复问题设置中的操作步骤，得到一系列公式:

转化过程缩写为:4194 7992 7173 6354 3087 8352 6174 6174 6174 665438。

对于随机抽取的四位数4194，重复操作，前六次得到的“差”((1)~(6))在变，后三次((7)~(9))的“差”不变，停在6174。因为题目的“运算”是200多年前美国数学家卡莱克提出的，所以有人把上述运算方法称为“卡运算”，把6174称为四位数的“卡莱克常数”。这就意味着，如果你随意写一个四位数，你还是会掉进6174的“黑洞”里，永无翻身之日！

于是我们得到如下猜想:在笛卡尔运算下，四位数有黑洞，它等于6174。

2.三位数的黑洞

我们已经发现6174是一个四位数的黑洞数，因此我们可以相应地思考一下:是否存在一个三位数的黑洞？

随意写一个三位数，各位数不相等(111，222，333等三位数应排除)。用这个三位数的每一位中的位数组成一个最大数和一个最小数，用最大数减去最小数得到一个新的三位数(如果差值等于099，则视为099)对新得到的三位数重复上述操作。你最后发现了什么？

猜测:笛卡尔运算下，三位数有黑洞，等于495。

那么，应该如何证实三位数有495个黑洞的猜想呢？

证明过程:要证明这个猜想成立，不就是把三个数字都一一测试吗？但是这个工作的工作量太重了，因为三位数太多了。对于笛卡尔运算，检查一个三位数(如571)相当于检查六个三位数(如571，517，715，751，175，65438+)。这是凯普莱特操作的基本性质。根据这个性质，工作量就变成了原来的工作量。

接下来工作量可以大大简化，这要靠一年级大家都学过的一种代数思维方法——“字母代表数字”来帮助。

设A，B，C是组成任意三位数的数，设A B C(除A = B = C外)对这三位数进行笛卡尔运算。

公式(*)说明差是对任意三位数进行笛卡儿运算后的一个三位数(x=0时也视为三位数)，其十位数等于9，百位数和位数之和等于9。

这样，检查工作就大大简化了——只需检查以下五个三位数:594，693，792，891，990。

因为990 891 792 693 594 495 495，上面五个要考的数字是同时考的。

这是一个巧妙的证明——三位数都要考，现在你要做的就是考990。

那么就很容易证明刚才的猜想:笛卡尔运算下，三位数有黑洞，等于495。

3.两位数的黑洞

我们已经知道三位数的黑洞个数是495，四位数的黑洞个数是6174。那么黑洞的数量存在两位数吗？

随机写一个两位数，每个数字中的位数不相等(11，22，33等数字要排除)。用这个两位数的每一位中的位数组成一个最大数和一个最小数，用最大数减去最小数得到一个新的两位数(如果差等于09，09视为两位数)。对新获得的两位数重复上述操作。你最后发现了什么？

分别随机取86，265，438+0和965，438+0进行卡操作，得到:

这导致了一个猜测:

(I)在笛卡尔运算下，两个数字被转换成两个数字的和等于9的数字；

(ii)在笛卡尔运算下，两个数字进入一个周期为5的循环链；

如何用上述证明三位数黑洞个数的方法做一个类似的证明？

(I)设a和b是一个两位数，设“a >；b、对这个两位数进行笛卡尔运算:

由b

x y 9 .

(二)结论(一)表明任何一个二进制数都可以转化为以下五个二进制数之一:81，63，27，45，09。

注意笛卡儿运算的基本性质(笛卡儿运算的不同与多位数的数值顺序无关)，猜测(ii)被证明。

以上说明两位数没有黑洞，但都进入了一个循环链，而且绝对不能离开这个循环链。

五位数和六位数黑洞的个数也可以和上面类似讨论，但是它的情况会更复杂，需要具体情况具体讨论。

4.其他形式的黑洞的数量

数学中的黑洞数量其实和自然界中的一样，有很多不同的类型和形式。数学中关于黑洞数量的研究还在不断更新和继续。我们上面讨论的其实只是最常见的一种，就是利用最大数和最小数之差得到黑洞的个数。其实还有另外几个简单的黑洞数，在近几年的中考题中也有所体现。我们来看下面两个例子:

(2004年浙江省嘉兴市考试)

有一个可以生成“黑洞数”的数字游戏，操作步骤如下:第一步，任意写出一个自然数(以下简称原数)；第二步，写一个新的三位数，它的百位数是原数中偶数位数，十位数是原数中奇数位数，一位数是原数中位数；在接下来的每一步中，按照第二步中的规则继续运算上一步中得到的数，直到数不变为止。

不管你从什么数字开始，走几步后总是一样的。最后，这个相同的数字被称为黑洞数。请以2004年为例试一下(可以选择另一个自然数来测试，不写测试过程)。在2004年，它将变成404，然后是303，然后是123...黑洞的数量是123。

(2004年重庆市北碚区初中毕业生学业考试20题)

自然数中有很多奇妙有趣的现象和很多秘密等着我们去探索！例如，对于任何自然数，先将它的所有位数相加，然后乘以3，再加上1。多次重复这个操作，操作的结果最终会得到一个固定的数R，陷入一个数字“陷阱”，永远无法逃脱。没有一个自然数能逃出它的“魔掌”，所以最终会落入这个定数r。

事实上，数学黑洞的内容是相当丰富的，历史上数学家从未停止过对黑洞数量的探索和研究。如果你有兴趣，可以利用课后的时间去搜索一些相关的资料，加入数学家的队伍。

本文转载自微信微信官方账号的“趣味数学”