概率与期望问题？

问题1:

假设A在某一局前剩余的钱是N元，如果此时游戏继续，A赢的概率是P(n)，那么

P(0)=0，P(9)=1，

当n既不是0也不是9时，有三种情况可以继续博弈:

(1) A赢了一手，n加1，继续游戏直到游戏结束(如果A已经赢了，可以视为继续游戏0次，可以并入这种情况)。

(2)如果A输了一手，N减1，游戏继续进行到游戏结束(如果A已经输了，这种情况可以合并)。

(3)甲乙双方打成平手，N不变。继续游戏，直到游戏结束。

所以P (A最后赢了)=P (A这次赢了，最后赢了)+P (A这次输了，但最后赢了)+P(这次，A最后赢了)

从而得到递推公式p(n)= 0.4×p(n+1)+0.5×p(n-1)+0.1×p(n)。

根据递推公式和P(0)=0，P(9)=1，P (n) = K× (5 N/4 N-1)，其中K = 4 ^ 9/(5 ^ 9-4 ^ 9)。

N=3，p(3)= 4096/27721≈0.14758开头。

所以A最后胜利的概率是0.14758，B最后胜利的概率是1-P(3)≈0.85242。

问题2:

我们假设在某场比赛之前，A的剩余钱是N元。此时，玩K游戏后，游戏结束。对于每个N，K，期望是E(n)。

那么E(0)=E(9)=0。

经过类似于第一个问题的分类讨论，可以得到递推公式(数学期望可以分类分别求期望，再求期望期望)

E(n)= 0.4×E(n+1)+0.5×E(n-1)+0.1×E(n)+1

接下来的计算方法和1题差不多。