哪个更大，..................，1还是0.99999？
0.999...=1?这个问题有什么有趣的地方？显然不在等式的右边。如果我们把等式的左边改成0.9，那么讨论“0.9=1？”然后大家会说:当然是左边小一点。问题的关键“0.999...=1”在于“0.999……”在等式的左边，或者更准确地说，在“什么是0.999……”。可能有人会说:“这个问题我们小学就学过了。这是一个循环小数，读作‘0.9，9循环’(念错的同学请用头撞墙一百次)。真的是这样吗？让我们仔细搜索一下自己小学学习数学的记忆，回忆一下与“循环小数”相关的片段(对于那些痛苦到无法抹去这段记忆的同学，我来回忆一下)。
小学数学，我们先学习了“1+2”和“3+4”的加减法，然后在学习带余数的乘除法的同时开始认识分数。我们五年级的时候就开始接触“有师无师”。在“小明跑400米75秒，问小明平均速度”等问题的引导下，我们知道了“无除法的小数”叫做无限小数，比如0.333...是1除以3的结果，0.777...是7除以9的结果。接下来教材给出了循环小数的定义:“？一个数的小数部分，从某个地方开始，一个数或几个数依次重复出现。这样的小数叫循环小数？”。
这里有一个很奇怪的现象:循环小数的概念是通过整数(或有限小数)的除法(“无限除法”)引入的，比如0.777...是7除以9的结果。但是，0.999会是怎样的除法呢...带来？如果7除以9得到0.777...8除以9得到0.888...，那么0.999...似乎是用9除以9得到的。但是9除以9并不是取之不尽的，结果是1，也就是说不会带来0.999...0.999 ...是一个符合教科书定义，但普通除法不会得到的数！其实这种情况在小学课本上是不讨论的。大概认为这个结果永远不会出现在实际计算中。
既然小学课本不把精力花在0.999这个问题上...，我们还会在哪里见面呢？严格来说，如果你像一个伟人一样，从小学起就下定决心忽略数学，那么你可能永远也听不到关于0.999的严肃讨论...在课堂上。对这个问题的严格讨论一般出现在大学的课堂上，这是理解实数和进位制时要处理的情况之一。
为什么跨度这么大？这要从“无限小数”说起。其实我觉得小学数学学习中能接受“无限小数”这个概念是一件很奇妙的事情。之前我们处理的数字都是几位数的加减乘除:从一位数到两位数，再从两位数到三位数。突然，我们要接受一个全新的“数”，这个数有无限个位数！我想如果我们不得不同时接受另一个无穷大的数:“...777”，会这么自然吗？也许不是。无限小数前面的小数点给我们一种心理上的错觉，让我们觉得既然“没那么大”，那可能是可以接受的。另一种想法是，这只是表示分数的另一种方式。
其实，如果我们仔细分析无穷小这个概念，就会发现这个概念其实包含了很多远超小学的知识。例如，我们可以写“0.333...=0.3+0.03+0.003+ ..."？这看起来很自然，但实际上，我们所写的方程是右边无穷多个数的相加。这种添加显然不在小学的范围内。我们上了中学以后，学了无穷等比级数的和，然后就知道这样做是有道理的。更奇怪的是无限循环小数:如果一个小数是无限循环的，我们如何知道它的每一个数字？如果我们不知道一个无限无环小数的每一位数字(比如De Bruijn-Newman常数)，怎么知道这个小数有多大呢？我们能说它等于每一位中数字对应的小数之和吗？甚至我们如何定义它的存在？当然，这样的问题不会出现在中考的试卷上。于是，我们自然而然地接受了无限小数的概念，度过了无忧无虑的童年。
说中国数学教育的一个败笔，就是没有在最早的时候引入对数学概念的深刻理解，没有像法国那样，用交换群的概念来教小学加法。虽然这个传说已经被证明是假的，但我们不妨想一想。对于0.999，我们的小学生会知道什么...如果我们用公理化的方式教育小学数学？我们先在一年级用Piano公设定义自然数的* *，然后在三年级引入交换群和除环定义四则运算，将整数定义为包含自然数的交换群，将有理数定义为整数环的分数域，最后在五年级引入戴德金除或柯西数列的实数概念(可以忽略这段话)。这个时候我们会发现可以直接开始* *论，实分析，线性代数的课程了。对于早死的同学来说，就是一句话:？无论是有限小数还是无限小数，其实都不是数学教育中的必备知识。没有这个环节，对以后的数学教育没有影响。。
那么，我们学习小数是为了什么呢？答案是:十进制是实数的一种记数法，是实数十进制记数法的一部分。就像我们喜欢用小数来表示各种数字一样，小数可以很直观的表示一个数字，有时候也方便我们计算或者比较大小。意识到这一点后，我们可以看看0.999的问题...更客观地说。
作为一种记数法，小数不会改变实数的性质。？记数法的意义在于给每个实数一个唯一的表达，它不会也不应该表达不是实数的东西。？0.999 ...既然不能通过整数除法得到，而仅仅是因为记数法的定义，那么我们就有必要考察它是否真的代表了一个实数。
先说十进制记数法的定义。以自然数的十进制记数法为例:一个自然数n，从比它小的10的最高次方开始，不断地做带余数的除法，可以得到一个唯一的表达式:
它们都是0到9之间的自然数。这是n的十进制表示。例如，对于自然数9230，其十进制表示为:
。
对于更一般的正实数X，我们可以做类似的步骤给出它的十进制表示:先求它。
然后找一个唯一的自然数(1到9之间)，这样
下一个订单
然后重复上一个操作(但可以是0到9之间的自然数)得到。因为，当正整数趋于无穷大时，的极限为0。如果对于某个，，那么我们得到一个有限序列，正实数x的十进制表示为:
当然，更常见的写法是，不大于就写，然后在后面补零，直到到位；如果且大于，则在第一位后标记一个小数点；如果m
更有趣的是，对于任何一个，都不是零。这时，我们得到的是一个无穷序列。所以我们必须定义无穷多个加法。这种运算的正式名称是无穷级数的和。简单地说，当有有限小数时，
现在我们要看
是否有意义，以及(如果有)是否等于x。但是我们知道
我们已经知道极限是0，所以当它接近无穷大时，
因此，我们不仅可以写得有意义:
但是也可以说:
这是任何正实数的十进制表示。负实数的十进制表示是在绝对值的十进制表示上加一个负号。
在给出了这么多定义之后，从上面的推理也可以看出，这个记数法是一个“好”的记数法。也就是说，每个实数都有一个表达式，但不会有两个不同的表达式，两个不同的实数也不会有相同的表达式。在定义了实数的十进制记数法之后，我们终于可以开始讨论0.999的问题了...
假设0.999...是一个实数x的十进制表示，那么它意味着，对于所有的，有。根据施工方式，相应的实数应为:
这是一个无限几何级数的和，我们可以通过公式求出:
但是，在构造1的十进制表示时，，，是矛盾的！
这表明0.999...不是任何实数x的十进制表示，它不代表任何实数。如果你“写”0.999...根据十进制记数法的定义，它的值是
所以等于1。正是因为这个原因，0.999...不是用于表示实数的符号，因为符号是唯一的。进而可以证明，在十进制表示中不存在从某一位开始始终为9的循环十进制表示，因为它会对应一个有限十进制，所以采用有限十进制的计数方法。
0.999 ...是根据实数的十进制记数法写成的“畸胎瘤”。如果我们不允许00043.4的写法，说它等于43.4，那么我们就不允许0.999的写法...0.999...=1是一个思维的游戏，它“滥用”了实数的十进制记数法，写出了等于1的无穷级数，制造了看起来小于1的假象。事实上，没有0.999...在正常的符号中。数学家说:我们都用1。