博弈论案例

故事讲述了两个犯罪嫌疑人作案后被警察抓住，分别关押在不同的房间进行审讯。警察知道那两个人有罪，但他们缺乏足够的证据。警察告诉大家:如果两人都否认，各判一年；如果两人都坦白，各判八年；如果两个人有一个坦白，一个否认，坦白释放，否认判十年。所以，每个犯人都面临着两个选择:认罪或者否认。但不管搭档怎么选择，每个犯人最好的选择都是坦白:如果搭档否认，自己坦白，就释放，不坦白就判一年，坦白总比不坦白好；如果伴侣坦白，自己坦白，判八年，不坦白，判十年。坦白总比不坦白好。结果两名嫌疑人都选择了坦白，被判处有期徒刑八年。如果两人都否认，各判一年，显然是个不错的结果。但这种帕累托改进是做不到的，因为它不能满足人类的理性要求。囚徒困境反映的深刻问题是，人类的个体理性有时会导致集体的非理性——聪明的人类会被自己的聪明所困。

第二，旅行者的困境

两个旅行者从一个以生产精美瓷器花瓶而闻名的地方旅行回来。他们都买了花瓶。当他们取行李时，发现花瓶被打碎了，于是他们向航空公司索赔。航空公司知道花瓶的价格在80-90元左右浮动，但不知道两位乘客购买时的确切价格。于是，航空公司要求两名乘客写下花瓶的价格，100元以内。如果两个人写的一样，航空公司会认为他们说的是实话，按照他们写的金额赔偿；如果两个人写的不一样，航空公司会认定写的差的乘客说的是实话，原则上按这个低价赔偿。同时，航空公司将对说真话的奖励2元，说假话的罚款2元。

为了得到最大的赔偿，双方的最佳策略是写100元，这样双方都能得到100元。但是没有，A很聪明。他想:如果我写1元变成99元，B写100元，那么我就得到101元。为什么不呢？所以他准备写99元左右。但是B更聪明。他估摸着A要密谋他写99元，所以他要写98元。没想到，A更聪明。估计B会写98元骗他，所以他准备写97元...众所周知，下棋的时候，不是说要多“看”几步吗？“看”得越远，赢的几率就越大。再看两步，我比你强，再看三步，你看四步，我比你老练，再看五步。在花瓶索赔这件事上，如果两个人都是“完全理性”的，都能看透十几步甚至几十步，那么上面那场“聪明竞赛”的结果，最终会落到大家都只写一两元的地步。其实在完全理性的假设下，这个博弈唯一的纳什均衡就是两人都写0。

第三，竞争也是劫持。

费城西区有两家对立的商店——纽约廉价商店和美国廉价商店。他们紧挨着彼此。这两家店的老板是死敌。他们一直在进行无休止的价格战。即使是鹰眼贝蒂·瑞普女士也找不到任何缺陷。不信你问她。而且这种床单的价格低得离谱，只有6美元50美分。“当这样的手写通知出现在一家商店的橱窗里时，每个顾客都会习惯于等待另一家廉价商店的回复。果不其然，大约两个小时后，另一家商店的橱窗里出现了这张通知:“瑞皮女士需要一副近视眼镜，我的床单质量一流。只有5美元95美分”。价格战的日子就这样开始了。两家店的老板除了张贴告示，还经常站在店外对着对方大喊大叫，经常导致拳脚相加。最后一方老板在这场价格战中不打了，价格不再下跌。说那个人疯了，说明对方赢了。这个时候，每一个围观的，路过的，附近的，都会涌向中奖的便宜货店。抢购所有的床单和其他物品。在这一带，两家店的争吵最激烈，时间也最长，所以口碑很好。住在附近的每个人都从他们的奋斗中受益匪浅，买了各种“精致”的商品。突然有一天，一家商店的老板去世了。几天后，另一家店的老板声称要去外地做货，两家店都倒闭了。两家店都有了自己的新老板。他们各自对两家店的前老板的财产做了详细的调查。有一天，他们在检查的时候，发现两家店之间有一条秘密通道，在两家店楼上两位老板住的套房里发现了一扇连接两家的门。新老板很奇怪，后来他们才知道这两个死敌其实是兄弟。所有的咒骂，谩骂，威胁，人身攻击都是上演的，每一次价格战都是假的。不管谁赢，他最后都是用自己的把对方库存的商品全部卖给客户。多么精彩的骗局。

第四，酒吧游戏问题(bar problem)

酒吧博弈的问题是由美国人W.B. Arthur在1994期《美国经济评论》上发表的一篇题为《归纳论证与有限理性》的问题中提出的，随后他在1999期《科学》杂志上发表的一篇文章《复杂性与经济学》中对博弈进行了阐述。游戏是一群人，比如n = 100，决定每个周末是去酒吧还是呆在家里。酒吧的容量有限，假设60人。如果有人预测会有60多人去酒吧，他会决定去不去吗？.....每个参与者或决策者面对的只是之前去过酒吧的人数，只能根据之前的人数信息总结策略。这是一个典型的动态博弈问题。.....通过计算机模型实验，亚瑟得到了一个有趣的结果:不同的演员根据自己的感应行动，去酒吧的人数没有固定的规律。然而，一段时间后，去酒吧的平均人数总是倾向于60人。亚瑟说，预报员把自己组织成一个去或不去的人的平衡系统，或者形成一个生态稳定系统。.....这是酒吧的问题。

酒吧问题反映了这样一种社会现象。就像亚瑟教授说的，在很多行动中，我们要猜测别人的行动。然而，我们没有关于其他人的更多信息。我们只能通过分析过去的历史来预测未来。

五、枪手游戏

今天，我讲一个关于博弈论的经典故事。

三个互相仇视的枪手A、B、C准备打起来。a枪法最好，十发八中；第二枪法，十分之六；c是最差的神枪手，十中四。

先问第一个问题:如果三个人同时开枪，而每个人只开了一枪；第一轮枪战后谁的生还几率更大？

一般认为A是神枪手，生还几率较大。但合乎逻辑的结论是，C这个最差的神枪手活下来的机会最大。

我们来分析一下每个枪手的策略。

枪手A必须先射击射手B。因为B对A的威胁大于C对A的威胁，所以A应该先杀B，这是A的最佳策略..

同理，射手B的最佳策略是第一枪瞄准装甲。一旦B干掉A，B和C就会摊牌，B赢的概率自然大很多。

射手C的最佳策略是先射A。毕竟B的枪法比A差。C先杀A再对抗b，C的生存概率还是比较高的。

我们来计算一下上述情况下三个枪手的生存概率:

答:24% (40% X 60% = 24%)

B: 20% (100%-80% = 20%)。

C: 100%(没人拍C)

通过概率分析，我们发现，神枪手最差的C，生存几率最大，而神枪手比C好的A和B，生存几率要低很多。

但上面的例子隐含了一个假设，即甲、乙、丙三方都清楚自己对手的投篮命中率。但在现实生活中，因为信息不对称，比如枪手A伪装，枪手B和枪手C认为枪手A是最差的神枪手。在这种情况下，最终的幸存者一定是a，所以，无论是历史还是现实，那些奸诈有城府的男人，往往都能成为最后的赢家。这个例子对你的职业生活或者官场生涯有启发吗？

我们继续假设甲、乙、丙三方互不知道对方的枪法水平。在这种情况下，A被B射中，A被C射中，A被B射中，A不被B射中的概率分别为25%，根据贝叶斯定理计算A的存活率:

甲活率:365，438+0%([被B照射:25% x 40% = 65，438+00%]+[被C照射:25% x 60% = 65，438+05%]+[被B-C照射:25% X 40% X 60% = 6%]。

乙的活率:23%([甲出手:25% X 20% = 5%]+[丙出手:25% X 60% = 15%]+[甲出手:25%X20%X60% = 3%])。

C的存活率:17%([被A射中:25% X 20% = 5%]+[被B射中:25% X 40% = 10%]+[被A和B射中:25% X 20% X 40% = 2%])。

在枪手不知道对方命中率信息的情况下，命中率最高的枪手A生存几率最大，射击最差的枪手C生存几率最小。

我们再回到甲、乙、丙都知道对方命中率的情况下，分析第二轮枪战。

第一轮枪战后，C可能同时面对A，B，甚至A和B，除非两人都在第一轮死亡。虽然很有可能第一回合后C会赢(也就是A和B都会死)，但是第二回合开始C肯定处于劣势，因为A和B的命中率都比C高。

这是枪手C. C的悲哀，无能的他虽然能暂时赢得第一轮枪战，但也能玩点花样。但是，如果甲乙双方在第一轮枪战中没有死亡，第二轮枪战之后，丙方生存的几率会低于甲乙双方..

第二轮枪战的生存概率大致计算如下:

(1)假设A和C战斗:A的存活率是60%，C的存活率是20%。

(2)假设B的存活率为60%，C的存活率为40%。

这似乎说明，能力差的人在竞争中耍花招能赢一时，但最后往往不能成功。现在我们用严格概率法计算两轮枪战后甲、乙、丙三方的生存概率。

(1)第一轮:

甲射乙，乙射甲，丙射甲..

A的存活率是24%(40% X 60%)，B是20%(100%-80%)，C是100%(没人拍C)。

(2)第二轮:

情况1: A活，B死(24% X 80% = 19.2%)

A射C，C射A——A的存活率是60%，C的存活率是20%。

案例二:活甲死亡(20% X 76% = 15.2%)。

B拍C，C拍B——B的活率是60%，C的活率是40%。

情况三:甲乙双方都活着(24% X 20% = 4.8%)

重复第一轮。

情况四:甲乙双方均死亡(76% X 80% = 60.8%)

枪战结束了。

指甲成活率为12.672%。

(19.2% X 60%)+(4.8% X 24%)= 12.672%

B的存活率为10.08%。

(15.2% X 60%)+(4.8% X 20%)= 10.08%

C的存活率为75.52%。

(19.2% X 20%)+(15.2% X 40%)+(4.8% X 100%)+(60.8% X 100%)= 75.52%

通过两轮枪战的详细概率计算，我们仍然发现，神枪手最差的C生还几率最大，而神枪手较好的A和B生还几率仍然远低于C。

对于这样的例子，有人会感叹“英雄创造历史，平庸孕育孩子。”

我们现在改变一下游戏规则，假设甲、乙、丙不同时射击，而是轮流射击。在这个例子中，我们发现C的机会大于他的实力。c不会被第一枪打死，下一轮可能有很大机会先开枪。

假设射击的顺序是A、B、C，A一枪打死B后(80%几率)，轮到C射击，C有40%几率一枪打死A。即使B躲过了A的第一枪，轮到B开枪，B还是会瞄准枪法最好的A。就算B用这一枪干掉了A，下一轮还是轮到C出手。无论A还是B先出手，B在下一轮都有先出手的优势。

如果C先出手呢？

c可以先射击A。即使C打不中A，A的最佳策略仍然是向B开枪，然而，如果C打中A，B将在下一轮向C开枪。所以C的最佳策略是随机出手。只要C没有打中A或者B，他在下一轮射击中就会处于有利位置。

通过这个例子我们可以明白，人在游戏中能否取胜，不仅取决于自身的实力，还取决于玩家实力对比所形成的关系。

在上面的例子中，B和C实际上是一个联盟。如果先杀了A，他们生存的几率会增加。现在我们来判断一下B和C谁更容易背叛，谁更容易忠诚？

任何联盟的成员总会权衡利弊。一旦背叛的好处大于忠诚的好处，联盟就会破裂。在B和C的联盟中，B是最忠诚的。这不是因为B本身有更忠诚的品质，而是因为利益关系。只要A不死，B的枪肯定会对准A..但C就不是这样了，C不瞄准a乱开枪显然是反联盟的，这样一来B的处境会更危险。

合作可以对抗强敌。只有在B和C的配合下，才能先干掉A。如果乙方和丙方不和，乙方和丙方都不单独优于甲方，由甲方先后解决。

第六，聪明猪游戏

猪圈里有两头猪，一头大猪和一头小猪。猪圈的一侧有一个踏板。每踩一次踏板，就会有少量的食物落在猪圈另一侧远离踏板的喂食口。如果一只猪踩了踏板，另一只猪就有机会先吃掉掉在另一边的食物。猪一踩踏板，大猪刚好会在猪跑到食槽前把所有食物吃完；如果大猪踩了踏板，在小猪吃完掉下来的食物之前，还有机会跑到食槽，争夺剩下的另一半。

那么，两只猪会采取什么策略呢？答案是:小猪会选择“搭便车”策略，即在低谷期舒服地等待；大猪不知疲倦地在踏板和食槽之间跑来跑去，只为了一点剩菜。

这是什么原因呢？因为，小猪通过踩踏板什么也得不到，但不踩踏板却能吃到食物。对于小猪来说，不管大猪踩不踩踏板，不踩总是一个不错的选择。另一方面，大猪知道小猪不会踩油门。自己踩油门总比不踩好，所以他得自己来。

变化方案1:还原方案。喂食只有原来体重的一半。结果小猪和大猪都不蹬了。小猪会踩，大猪会把食物吃完；如果大猪踩上去，小猪也会把食物吃完。谁蹬就意味着给对方贡献食物，所以谁也不会有蹬的动力。

如果目的是让猪多蹬，这个游戏规则的设计显然是失败的。

变化方案二:增量方案。比以前多喂一倍。结果小猪和大猪都会蹬。谁想吃就蹬。反正对方不会一次吃完所有的食物。小猪和大猪相当于生活在一个物质相对丰富的“物欲横流”的社会，竞争意识不是很强。

对于游戏规则的设计者来说，这个规则的成本是相当高的(一次提供双份食物)；而且因为竞争不强，让猪多蹬也没啥效果。

变化方案三:减量加移位方案。只喂原来重量的一半，但同时要把喂食口移到踏板附近。结果小猪和大猪都拼命蹬。等的人不会吃，努力的人会得到更多。每一次收获都只是花。

对于游戏设计师来说，这是最好的解决方案。成本不高，但收获最大。

很多人没看过“聪明猪游戏”的故事，但都在有意识地使用猪的策略。散户在股市里等着庄家上轿；等待产业市场出现有利可图的新产品，然后大规模复制游资牟取暴利；公司里不创造效益但分享成果的人，等等。比如公司的激励制度设计，奖励太强，而且还是持股和期权。公司的所有员工都成了百万富翁。且不说成本高，员工的积极性也不一定高。这相当于《聪明猪游戏》增量方案中描述的情况。但是，如果奖励力度不大，观众有分成(即使是不干活的“小猪”)，曾经很努力的大猪们也就没有动力了——就像《聪明猪游戏》第一期缩减计划中描述的情况。最好的激励机制设计就好比换第三种方案——减员加换班。奖励不是人人共享，而是针对个人(如业务比例提成)，既节约了成本(对公司而言)，又杜绝了“搭便车”现象，可以实现有效激励。

就整个社会而言，自我需求大的群体往往是推动社会生产力的主力军。换句话说，要快速提高整个社会的生产力水平，需要有一个消费需求大的群体，并给予他们一定程度的奖励。第三种改变方案反映了这种情况，降低了饲养成本，现实中也可以等同于增加饲养奖励。