方程和函数有什么区别？
其次，函数表达式表达的是两个变量之间的一一对应关系，而曲线方程借助于点的集合和以代数形式表达一条曲线，本质上是一条曲线的表达式。通过例子可以看出两者的关系:x ^ 2+x-1 = 0等价于函数y = x ^ 2+x-1，解方程问题转化为在函数的自变量x的定义域取什么值，当y=0时？有点像求反函数。自然x ^ 2+x-1 = 1变成x ^ 2+x-1 = y，解方程到函数的自变量x域应该取哪个值？其实大学学了高等数学，就能知道数学是人用的工具，怎么来越简单越好。但是在学习函数的初期，函数是有自己的规律的。所以，如果要把X 2+X-1 = 1转换成函数形式，就要把1左移，即X 2+X-2 = Y，相当于规定y=0时求X。这个规定也是成立的。在数学中，方程的标准是形式在右边为零。方式应该是{(x，y)|曲线方程}根据定义，方程是含有未知数的方程，函数是两组非空数之间的映射。方程F (x，y) = 0中的X和Y都是未知数，关联规则F同时作用于X和Y。交换两个未知数的位置时，它们之间的关联规则通常会发生变化，得到的新方程一般与原方程不是同一个解方程(某些特殊情况除外，下同)。函数中需要区分自变量和因变量，对应规则只作用于自变量；函数由定义字段A、值字段C和相应的规则F确定，而不管用什么字母来表示定义字段和值字段中的元素。所以y = f (x) (x？0?2A，纽约？0?2C)和x = f (y)(y？0?2A，x？0?2C)表示相同的函数，但它们通常不是具有相同解的方程；y = f(x) (x？0?2A，纽约？0?2C)和x = f -1(y) (x？0?2A，纽约？0?2C)一般来说，它们是不同的函数，但它们是有相同解的方程。比如y = 2x (x为自变量)x = 2y (y为自变量)是一个函数相同，解不同的方程；而y = 2x (x为自变量)和x = y (y为自变量)是不同的函数和方程，有相同的解。因此，当方程F(x，y) = 0可以确定隐函数时，那么两个函数y = f(x)和x = f -1(y)之间的关系也应该确定，而不仅仅是前者。比如方程2s- gt2 = 0( t？0?6 0 )①函数s = f(t) = gt2 (t？0?6 0) ②和函数t =j(s) = (s？0?6 0) ③，其中g > 0为常数。②和③明显是不同的函数，但作为方程，都和①有相同的解。函数和方程的这种区别自然要体现在绘图上。在画二元方程的图形时，实际上把未知数分为第一个未知数和第二个未知数，以前者的值为横坐标，后者的值为纵坐标。比如，在画方程①的图形时，可以把T的值和S的值都作为横坐标，取决于把谁作为第一未知数。但在画以X、Y为未知数的方程时，由于直角坐标系中的横轴和纵轴习惯上分别表示为X轴和Y轴(以下简称习惯1)，所以总是以X的值为横坐标，Y的值为纵坐标，以免混淆。实际上，这种绘制方法默认了以下约定:1。当方程中的未知数用X和Y表示时，X被视为第一个未知数。根据上面的作图方法，同解的方程y = 2x和x = y的图形是相同的，不同解的方程y = 2x和x = 2y的图形也是不同的，说明约定1是合理的。关于作为函数的图像，中学和大学的数学教材(如[4，2]和[5，1.6])都提到以下约定二:对于作为函数的图像，在平面直角坐标系中，横坐标对应自变量的值，纵坐标对应函数值。即在制作函数图像时，无论用什么字母表示，都要以自变量的值为横坐标，函数值为纵坐标。例如，在作函数②的图像时要以t的值为横坐标，在作函数③的图像时要以s的值为横坐标。同样，在作函数x = f(y)的图像时，你要以y的值为横坐标，x的值为纵坐标，而不是按照约定1和方程的作图方法作图。所以在同一个直角坐标系中，当y = f (x)和x = f (y)看成函数时，它们的图像是相同的，当看成方程时，它们的图形一般是不同的；当y = f(x)和x = f -1(y)视为函数时，它们的图像一般是不同的，而当它们视为方程时，它们的图像是相同的。“在同一个直角坐标系中，同一个函数的像是一样的，不同的函数的像是不一样的”，这是一个合乎逻辑的结论，可见公约2的合理性。虽然也是因为1的习惯，在制作函数x = f (y)的图像时，为了避免混淆，经常会通过X和Y的切换，将函数公式改写为y = f (x)，但之所以能做到这一点，正是因为y = f (x)和x = f (y)是同一个函数，而不是把它们当作方程来处理。如果只注意函数与方程的“相似”，而忽略它们之间的“不同”，在考察一些具体问题时就会犯错误。比如反函数表达式中X和Y需要互换的原因，一般用“习惯上，我们通常用X代表自变量，Y代表函数”(以下简称习惯2)来解释。一个习惯被遵守是合理的，也是必要的。为什么要遵循这个习惯，众说纷纭。一个有影响的观点是，由于y = f(x)和x = f -1(y)在同一个直角坐标系中的像是相同的，“把反函数x = f -1(y)改写成y = f -1(x)还有一个好处。这种观点在一些习题中经常体现，如:(1)如果函数y = f (x)有反函数，那么在同一坐标系中，y = f (x)和x = f -1(y)的像a .关于直线y = x的对称性b .关于y的对称性c .表示同一曲线d .关于原点的对称性(2)如果函数y = f (x)有反函数， 那么下列命题不正确的是:a .函数y = f (x)和函数x = f (y)的像关于直线y = X对称b .如果y = f (x)是奇函数，那么y = f -1(x)也是奇函数c .如果y = f (x)在其定义域[a，. 那么y = f -1(x)也是[a，b]上的增函数。函数y = f (x)和x = f -1(y)的图像叠加中给出的(1)的答案是c，在[7]中给出。笔者认为上述观点的缺陷在于忽略了函数与方程的区别，从而在讨论同一问题时使用了不同的标准。即在考察原函数和反函数的像时，先把函数看成一个方程，得出它们的像是一样的结论；在重写反函数时，需要把它们当作函数，所以可以重写。这会导致逻辑推理的冲突。实际上，因为函数x = f -1(y)和y = f -1(x)表示的是同一个函数关系，所以允许X和Y在其中互换，这是按照习惯2改写反函数的理论基础。但认为两个不同的函数y = f (x)和x = f -1(y)的像是相同的，两个相同的函数y = f(x)的像与x = f (y)的像是不同的，将其等同于方程。但如果我们把它看成一个方程，那么x = f -1(y)和y = f -1(x)一般是不同的解。如何用后者取代前者？另外，根据定义，函数y = f(x)的反函数是x = f -1(y)。如果改写反函数后原函数的像和反函数的像关于直线y = x对称，这个结论是否显得牵强(因为本来就不成立)？因此，重写反函数的必要性自然会受到质疑，甚至有一种观点认为这是在迁就“陋习”(例如，[2]，第26页)。在早期的一些教材中，函数的解析表达式叫做方程，函数的图形和方程没有区别。比如上世纪50年代对我国数学教育有一定影响的[3]首先指出方程y = f(x)和x = f -1(y)给出的X和Y的关系是相同的(实际上y = f(x)和x = f -1(y)然后说明此时在Y轴上取x = f -1(y)中的自变量Y是不方便的(即， 根据方程的作图方法)，所以需要旋转整个平面使代表自变量的轴和代表函数的轴互换位置(其实约定2已经被认可了)，所以反函数x = f -1(y)变成Y = f-660。 这样得到y = f -1(x)有点麻烦，旋转时坐标轴的方向和名称有变化吗？所以后来写的大部分教材里的说法都不一样。在[4，2]中，约定1作为重写反函数的理由，可见重写的必要性。但是“从图形上看，曲线y = f(x)和x = f -1(y)是同一条曲线”这句话，还是先当作一个方程。[5，1.8]指出x = f -1(y)和y = f -1(x)表示的是同一个函数，由此可见重写的合理性，而其必要性与中学课本一致，用前面提到的“习惯”来解释。其实只要以上面提到的两个约定为基础，就很容易对这个问题作出简洁合理的解释，即当y = f(x)和x = f -1(y)视为方程时，它们的图形是一样的，但这里考虑的对象是函数，反函数x = f -1(y)的图像要按约定2作。这样画出的图，与原函数y = f(x)的像关于直线y = x对称(因此“原函数的像与反函数的像关于直线y = x对称”成立，不依赖于改写反函数表达式)。只有当横轴和纵轴已经分别表示为X轴和Y轴时，才容易混淆，所以互换反函数中X和Y的位置并不改变反函数的本质，避免了作图的不便。我认为这是需要重写反函数表达式的主要原因。根据前面的讨论，习题(1)的正确答案应该是A，习题(2)中的命题A、C、D都是不正确的。由此可见，对函数与方程关系理解的差异导致对一些具体问题的不同看法，而这些差异在教学中已有所体现，可能给学生造成认知上的困难和困惑。因此，需要有一个统一的认识，才能对相关问题给出合理一致的解释。笔者认为，引入习惯1、习惯2等“习惯”的初衷，是将方程、函数、图形等本质相同的对象以一般形式进行抽象和概括，以便于对其普遍规律的研究和描述。虽然遵循这些习惯可以带来一定的便利，并已被广泛采用，但由于变量或未知数往往用其他符号来表示(例如在物理学中)，自变量和因变量也可能相互转化(例如在求反函数时)，在考察具体问题时，我们不应被它们过度束缚。如果拘泥于上述习惯，而忽略了对象或方法的实质性差异(如公约1和公约2)，就会背离引入这些习惯的初衷。因此，建议在教学中强调一般方法(最好在教材中明确指出)，如画二元方程时用第一个未知数的值作为横坐标，第二个未知数的值作为纵坐标，画函数时用自变量的值作为横坐标，函数值作为纵坐标，在相关部分适当增加变量或未知数用其他字母表示的函数或方程的例题和习题。这样，初学者通过比较可以清楚地理解方法的本质，有利于理解和掌握一般规律，避免形成错误的思维模式(比如X必须是自变量，Y必须是因变量，函数x =？0?7 -1(y)图像还必须使用x值作为横坐标等。).随着科技的发展，数学理论本身也在不断完善，比如引入集合的概念，给出函数的现代定义，所以可能需要更新对一些问题的看法。椭圆形的
X=a cosx
y=b sinx
双曲线:
x = a*secθ
y = b*tgθ
抛物线:
x = 2p*t^2
y = 2p*t
椭圆可以用三角函数建立参数方程。
椭圆:x ^ 2/a ^ 2+y ^ 2/b ^ 2 = 1。
椭圆上的点可以设置为(a cos θ，b sin θ)。
双曲线:x 2/a 2-y 2/b 2 = 1。
双曲线上的点可以设为(a秒θ，b正切θ)。
因为(sec θ) 2-(tan θ) 2 = 1。
抛物线:y 2 = 2p x
那么抛物线上的点可以设为(2p t^2，2p t)。
相应地，若抛物线为:x 2 = 2p y，则抛物线上的点可设为(2p t，2p t^2)圆的参数方程x=a+r cosθ y=b+r sinθ (a，b)参数方程x=a cosθ y=b sinθ a为长半轴长b为短半轴长θ为参数双曲线方程x=a secθ (secθ)。Y=b tanθ a为实半轴长b为虚半轴长θ为参数抛物线方程X = x=2pt^2 y=2pt p为焦点到准线的距离t为参数直线方程x=x'+tcosa y=y'+tsina，x '，y '和a为通过(x '，y ')的直线，倾角为a，t为参数。