如何不用尺子只用圆规把一个圆分成四份?

有趣的指南针几何学

据说拿破仑对用圆规画几何非常感兴趣。他曾经给当时的法国数学家出了一道题:“请用圆规而不是直尺把已知的圆分成四等份”。

如果已知给定圆的圆心,拿破仑的问题就不难了。下图显示了一个练习:

取已知圆O(r)上的任意一点a。然后从A点开始,用圆规测半径的平方法依次作出B、C、D三点。然后圆A(AC)与圆D(DB)相交于点e .最后,如果圆A(OE)与已知圆O(r)相交于两点P和Q,则A、P、D和Q将圆置于四点。

o宿营。

所以a,p,d,q确实是圆o的四分法点,如果拿破仑的问题没有给出圆心,那就难多了!但是可以做到!公元1797年,意大利几何学家马·施罗姆指出,任何人都可以使用尺子和圆规。

做出来的几何图形光靠圆规就能做出来。换句话说:“尺子是多余的!”学过平面几何的读者可能已经知道,用尺子和圆规画图归结到最底层。

这完全取决于:

(a)找出两个圆的交点;

(b)求一条直线和一个圆的交点;

找出两条直线的交点。以上三项,(a)自然可以用圆规完成,重点是(b)和(c)。为了得到

明确了这一点,我们先来介绍几个单凭圆规就能做出的基本图纸:

画图1试着单独用圆规作X点关于直线AB的对称点X’。做法:自我说明见图。(左)

图2已知圆心O的情况下,单独用圆规试求圆O的弧AB的中点m。

练习:如图所示,对于ABOC和ABDO来说,单独使用圆规并不难。设OA = r,ab = m,那么在ABOC

* CB2+OA2 = 2(AB2+OB2)

∴CB2+r2=2(m2+r2) CB2=2m2+r2

现在让圆C(CB)与圆D(DA)在E点相交,那么

* OE2 = CE2-OC2 = CB2-OC2

∴OE2=2m2+r2-m2=m2+r2

然后使圆C(OE)与圆D(OE)在f点相交。

OF2=CF2-OC2=OE2-OC2

∴OF2=m2+r2-m2=r2

因此,F是圆o上的一点。根据图形的对称性,F是AB的中点。

图3仅用圆规试求线段a、b、c的第四比例项x练习:我们试一种最常见的情况,剩下的留给读者。

设不动点O是圆O(a)和圆O(b)。在圆O(a)上取任意一点m,求

另一点N使弦Mn = C,选择一个半径r,使圆M(r)和N(r)分别与O(b)相交。

在P点和Q点,并在< < MON >中选择OP和OQ中的一个。一只

△OMN∽△OPQ

所以om: op = Mn: pq是a: b = c: X。

也就是说,和弦PQ是第四比例项x。

可见,单纯用圆规求直线与圆的交点并不太难。如上图,利用基础图1,使已知圆O(r)的圆心O关于直线AB对称。

o点。那么圆O(r)和圆O′(r)的交点P和Q就是求直线AB和已知圆O(r)的交点。

但是,似乎有一个例外,就是直线AB刚好经过O点,基础图1就失去效用了。但是,我们可以通过重用左图所示的基本图2来找到MN的中点p(和q)。不难理解P和Q是圆O和直线AB的交点。换句话说,我们已经解决了关键图(B)。

我们来看一下关键图(C),即如何单独用圆规求两条直线的交点。其实我们可以归结为基础图3。

如图,我们先画1作为C和D关于直线AB的对称点C '和D ';那样地

然后,确定E点,使CC'd 'e为平行四边形,只需用圆规即可。很明显,D,D '和E的线是三点。

设CD和AB的交点为f,我们现在的目的很明显就是求f点。

D'F∥EC∴德∶DD'=DD'∶DF

即DF=X是DE,DD '和DC的第四个比例项,所以也可以单独用圆规做。接下来的任务是求圆D(x)和圆D’(x)的交集f,这已经很容易了。至此,我们已经令人信服地证明了马·施罗姆的结论“直尺是多余的”!最后,值得一提的是,公元1928年左右,丹麦数学家海姆斯·列夫的一个学生在哥本哈根的一个旧书摊上偶然发现了一本旧书《奥格威的绘画》。这本书出版于公元1672年,作者是一个鲜为人知的人物,G·摩尔。这本书不仅包含了马施罗姆的结果,而且给出了一个不同的证明,即

一个事实说明,指南针几何的历史至少要往前走125年!

熟练地用尺子画画