高等代数第三版答案

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(1) X=[-1 0 2; 0 1 2; 2 2 0]

至于怎么来的，先把A做谱分解A=QDQ^T，然后取X=QD^{1/3}Q^T即可。

(2) 推广可以有很多种，比如说，任何实对称矩阵都存在实的立方根。

2 注意f(x)和g(x)没有公***根，把A的特征值分成3组：f(x)的根、g(x)的根、其它，这样可以取P上的相似变换把A化成分块对角阵[A1 0 0; 0 A2 0; 0 0 A3]，其中A1的特征值是f的根，A2的特征值是g的根，A3的特征值不是fg的根。那么f(A2)、f(A3)和g(A1)、g(A3)都非奇异，所以Ker[f(A)]和Ker[g(A)]的交集为0且Ker[f(A)]+Ker[g(A)]=Ker[f(A)g(A)]，比较一下空间维数或者考察分解式的唯一性就知道这个是直和，再把相似变换作用回去就得到V=V1⊕V2。