2的n次方之和

2+2?+...+2?=2 (2?-1)/(2-1)=2-2。几何级数:a(n+1)/an=q(n∈N)。通式:an = a 1×q(n-1)；求和公式:Sn=n*a1(q=1)，Sn = a 1(1-q n)/(1-q)=(a 1-an * q)。

几何级数的特殊性质

(1)若m，N，p，q∈N，m+n=p+q，则am×an=ap×aq。

(2)在几何级数中，每k项依次相加，仍成几何级数。

③若m，N，q∈N且m+n=2q，则am× an = (AQ) 2。

(4)若G是A和B等比例中的中项，则G 2 = AB (G ≠ 0)。

⑤几何级数中，第一项a1和公比Q不为零。

注:上式中，an代表几何级数的第n项。

等比故事

根据历史传说，象棋起源于古印度，目前文献中所见的最早记录是萨珊王朝时期用波斯语写成的。据说一个印度教的宰相看出了国王的自负和虚荣，决定教训他一顿。他向国王推荐了一款当时不为人知的游戏。当时国王身边都是一群整天阿谀奉承的大臣，百无聊赖，需要通过游戏来缓解郁闷的心情。

国王很快对这个新奇的游戏产生了兴趣。他高兴的时候就问丞相需要什么奖励，作为对他忠心耿耿的回报。总理说:

请将1粒小麦放在棋盘的第一格，第二格2粒，第三格4粒，第四格8粒...也就是说，下一格放入的谷粒数必须是上一格的两倍，直到最后一格的第64格满为止，所以我很满意。“好吧！”国王笑了，大方地答应了首相的卑微请求。

聪明的首相要了多少粒小麦？稍微计算一下，我们可以得到:1+2+22+23+24+...+263 = 264-1，直接把数字写成18，446，744，073，709，551。

如果建造一个宽四米、高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓将有3亿公里长，可以绕地球赤道7500圈，或者在太阳和地球之间往返一次。

国王哪里有这么多小麦？他慷慨的言辞成了他永远无法向总理萨斯·班达尔偿还的债务。

正当国王一筹莫展的时候，王子的数学老师知道了这件事。他笑着对国王说:“陛下，这个问题很简单，就像1+1=2一样容易。你怎么会被它难倒呢？”国王大怒:“你要我把2000年全世界出产的小麦都给他吗？”年轻的老师说:“没有必要，陛下。其实你要做的就是让丞相去粮仓，自己数麦子。

如果总理每秒钟数一粒，大概需要5800亿年才能数完18，446，744，073，709，551，615粒小麦(可以用计算器自己算！)。即使首相夜以继日地数着，直到他进入极乐世界，他也只数了那些谷物的极小一部分。在这种情况下，不是陛下付不出赏赐，而是丞相本人拿不走。”国王突然意识到，他现在把宰相叫来，把老师的方法告诉了他。

萨斯·班达尔想了一会儿，然后笑了:“陛下，您的智慧已经超过了我，那些奖赏……我不得不放弃了！”“当然，最后，首相得到了很多奖励。