有什么办法解决猫捉老鼠的问题？

这种题型的推导比较复杂，很难理解。根据反复的实验和观察，虚法是解决这类问题的一种通俗易懂的方法。

列举这类问题的两种情况。对于每种情况，先考虑特殊情况，再从中寻找规律。这两种情况都是基于以下前提:从1到N的N只老鼠顺时针形成一个圆圈，从1开始报数。并且规定游戏开始第一个幸存者是老鼠1。设老鼠总数为n，最后存活的老鼠数为x。

例1:1号老鼠活了下来，2号老鼠被猫吃了；三号老鼠活了下来，四号老鼠被猫吃了...就这样，猫每隔一只老鼠就吃掉一只老鼠，那么最后存活的老鼠是什么？

这种情况下，猫每次吃两只老鼠中的一只老鼠，可以认为两只老鼠是一个循环，用m = 2表示；用n代表每个周期吃掉的老鼠数量，其中n=1。

例2:1号鼠存活，2号、3号鼠被猫吃掉；4号老鼠活了下来，5号和6号老鼠被猫吃了...就这样，猫每隔一只老鼠就吃掉另外两只老鼠，依次走下去。最后存活的老鼠是什么？

这种情况下，猫每次吃三只老鼠中的两只，可以认为三只老鼠为一个循环，即m = 3；每三个吃两个，所以n=2。

回答:

通过观察上述两种情况的运算结果，发现n的所有可能值按一定顺序排列形成一个等差数列a .第一项a1 = m，容差d = n(m和n都是正整数)。

对应于n的x的值构成几个等差数列B1，B2，...，Bk。这些等差数列的容差都是m，第一项是1。还发现这些等差数列有这样一个规律:当n的值为MK(M和K都是正整数)时，对应的X的值为1。也就是说，当N的取值范围是从mk到mk+1-N时，X的对应值构成一个d=m，a1=1的等差数列，项数是从N=mk到N = mk+1-N的数(包括mk和MK)。

那么现在我们来看看一般情况:如果猫要吃掉m只老鼠中的n只老鼠，那么最后存活的老鼠是什么？从以上结论，我们可以得出以下步骤:

1.先求一个小于n的最大数MK(k为正整数，假设n≠MK)；

2.这样就形成了第一项A1 = MK，最后一项An = N，容差D = N的等差数列A，通过公式计算出项数B；(即b = 1+(n-MK)/n)

3.因为X的每一个值也构成了A对应的等差数列Bk，其中容差为m，第一项为1，项数为b..利用等差数列求末项的公式，求出了末项An。

(即an=1+(b-1)*m)

4.an是x对应n的值，n是最后存活的老鼠的数量。