求费马最后定理的解法？
在费马珍藏的古籍拉丁译本中，有一本命为《算术》（Arithmetica）的书，其作者是希腊的数学家狄奥幻特斯（Diophantus，约是公元3世纪的亚历山卓人）。大约在1637年，费马以拉丁文在这本狄奥幻特斯著作中的毕氏定理论证附近写下了：
「另一方面，一个数字的立方不可能表示成两个立方数的和，一个四次方数也不能表示成两个四次方数的和；或者更概括性地说，除了平方之外，一个 n 次方数不能表示成两个 n 次方数的和（Xn＋Yn＝Zn）。我已经为这个命题找到了一个非常美妙的证明，然而这里的篇幅不足以让我写下这个证明。」
就是这个神秘兮兮的宣示，让往后几个世代的无数数学家，忙於提供这个被费马称之为「美妙的证明」。表面上，Xn＋Yn＝Zn 在n≥3时没有整数解，这个叙述看起来很简单，但绝不容小觑。费马所说的其他定理，全都已在19世纪初叶左右被证明或推翻了。只有这个看似简单的叙述，依然没有人搞定，也因此被冠上了「费马最后定理」的名字。究竟这个定理是不是真的呢？本世纪有人试图用电脑来验证这个定理；基本上电脑可以验算到相当大的数字，但仍无法验算所有数字，这便是困境之所在。即便这个定理对几十亿个数字而言是成立，但在几十亿的后面，仍有无穷多的数字以及次方需要验证。所以要宣称这个定理有效，就需要一个数学上的证明。19世纪时，法国与德国的科学院都提供了巨额的奖赏，徵求这个定理的证明。而每年也都有成千上万的专业及业余数学家，寄来千奇百怪的「证明」方法到数学期刊及评议会，但结果都是无功而返。
．1993年7－8月：致命的漏洞
当怀尔斯在6月的那个星期三步下讲台时，数学家均抱持审慎的乐观态度。350年的谜团，似乎终於被破解了。怀尔斯所用的理论及符号，有许多是费马时代从未听闻的，有些甚至到20世纪才出现。这些理论尚需经过专家认证，因此证明便被送到许多顶尖数学家手中。也许怀尔斯 7 年来的隐居苦干终於可以得到回报。但这种乐观现象并未持续多久，数周内，怀尔斯的逻辑即被找出了漏洞，他试图弥补，但都徒劳无功。普林斯顿数学家彼得．萨纳克（Peter Sarnak）看著挚友怀尔斯镇日痛苦地面对自己在两个月前於剑桥向全世界发表的证明，他解释道：「看起来，怀尔斯像是想把一块超大的地毯铺在房间的地板上。铺好了这一边，房间另一边的地毯会卷贴上墙壁；到了另一头，把地毯拉回地面，房中某一处的地毯又会拱起来。而这块毯子到底是否适合这个房间，他根本无法裁决。」怀尔斯再次回到他的阁楼。《纽约时报》以及各大媒体的记者也都暂时不去打搅他，任他孤寂地工作。然后，日子一天天地过去了，证明始终未现的结果，再度使数学界及一般大众开始怀疑，费马定理究竟是不是真的。怀尔斯向全世界宣示的漂亮证明，就有如费马那项「非常美妙，但页边篇幅无法容纳的证明」一般，是虚无缥渺的。
有这样一个数学难题：虽然它看上去很简单，但是它的难度却是一般人难以
想象的；这个难题的盛名远远超过了数学界，凡受过教育的人几乎没有不知道的
，虽然可能并不了解它的具体内容；在这个难题上取得一点进展要远比哥德巴赫
猜想要简单，许多人在初始涉猎它的时候都能够轻松的作出一些成就，然而要想
完全证明它确是几乎不可能的。
这个数学难题在300多年前被提出，吸引了无数的数学家穷尽毕生精力去设法
获取对它的证明。前西德 的哥廷根大学数学研究所特地为它于1908年设立了沃尔
夫基尔（Wolfskell）奖。虽然对此奖的申请论文有许多严格的规定，但是在相当
长的时间里该研究所还是会平均每周就收到一篇应征论文。而这比设立奖项的第
一年已经要好多了，那一年一***收到了621份申请！尽管在本世纪的最后一个十年
中终于有人给出了对这道数学难题的完整证明，但是人类为它而耗费的三个半世
纪的时间却使它成为了数学史上的一个传奇。
--这道数学难题就是费马最后定理（亦称费马大定理）。没有人会想象出，
这个问题的起源却只是潦草写在一本书的页边空白处的一小段话！
费马其人
皮埃尔·戴·费马（Pierre de Fermat）1601年出生在法国。当他于1665年
1月12日去世时，是当时欧洲最著名的数学家。但是从他的一生来看，他并非是以
数学为生的职业数学家，他的职业是律师兼土伦地方的推事，即负责审理案件的
官员。当他在30岁获得了这个法学职位之后，开始在业余时间里研究数学。虽然
费马过去并没有受过专业的数学培训，但是他很快就崭露了他的数学天赋，在其
短暂的数学经历中为整个数学史增添了极为灿烂的一页。在今天，他的名字常跟
数论为伴，然而由于他在这一领域的大部分工作超前了时代，致使他的同代人更
多了解的是他独立于笛卡尔（Descartes）发明的坐标几何、经过牛顿和莱布尼茨
（Leibniz）等人为世人所注目的无穷小演算以及由他和帕斯卡（Pascal）创立的
概率论。费马所生活的时代，聚集了一批数学巨匠，如笛卡儿、帕斯卡等等。费
马与他们之间保持了广泛的通信联系，经常与他们就某些数学问题互相交流。但
是也仅限于此，费马在他的整个数学生涯之中，几乎从来没有发表过任何数学作
品，然而这却并没有遮掩这些成就耀眼的光芒。仅仅把数学当作业余爱好的费马
，凭着他辉煌的数学成果戴上了"业余数学家王子"的桂冠。
约公元3世纪，古希腊学者丢番图写出了他最为主要的代表作之一--《算术》
。这是第一本见诸于文字的代数书，书中有关两个或多个变量的整系数方程的有
理数解问题，是较为重要的一部分。今天数学家们在研究类似问题时一般只限求
于其整数解。事实上，在这一问题上，有理数与整数的概念并无大的差异。因为
例如方程2X＋3Y＝0的一组解（X＝1／2，Y＝－1／3）与它的另一组解（X＝3
，Y＝－2）并没有多大区别。只要将第一组解乘以它们分母的最小公倍数6，就
可以得到第二组解。所以在很多时候我们对此类问题的研究只限定于求整数解。
15世纪中叶，战乱使君士坦丁堡落入了土耳其人的手中。为求得安宁，大批
拜占庭的学者逃往西方，同时带去了许多希腊学者的学术著作，这其中就有这本
《算术》。但是由于语言上以及其它一些原因，当初并没有人注意到它。一直到
1621年，克劳德·巴希特（Claude Bachet）出版了加有拉丁文译文、注释和评论
的新版算术，才使得欧洲数学家注意到了这本书。费马，就是其中一位对此产生
浓厚兴趣的学者。
在读这本书的时候，费马常常习惯于在书页的空白处随手写下一些简要的注
释。一直到他去世后的第五年，他的儿子萨穆尔（Samuel）在收集整理父亲的笔
记和信件准备出版的时候，发现了他们。其中，在丢番图的第八问题"给定一个平
方数，将其写成其他两个平方数之和"的旁边，费马用拉丁文写道：
"另一方面，不可能将一个立方数写成两个立方数之只和，或者将一个数的四
次方数写成其它两个四次方数之和。总的来说，对于任何一个数，只要它的幂指
数大于2，就不可能写成其它两个同等幂指数的数之和。对于这个命题，我得到了
一个非常奇妙的证明方法，但是这里的空白太小，我无法将它们写下来。"
用数学式来表示，丢番图第八问题即为：X2＋Y2＝Z2有正整数解（前面已
经说过，此类问题只需求正整数解即可）。
而费马认为，对于方程X3＋Y3＝Z3以及X4＋Y4＝Z4无正整数解。在此
基础上，费马推断出，对于方程Xn＋Yn＝Zn（n≥3）没有正整数解。
于是，费马最后定理似乎带着一丝神秘的色彩出现了。与哥德巴赫猜想不一
样是，费马最后定理自从它一出现就被给予了"定理"的称呼，尽管在此后的300多
年时间里一直没有人能得到费马已经想到却仅仅因为"空白太小"而无法记录下来
的证明，也一直有人怀疑费马本人是否真的得到了这一命题的证明，但是却从来
没有人怀疑过这个定理的正确性。这个定理为什么会被称为是"最后定理"呢？也
无从考证。从人们所知道的一些资料可以断定，这段注释应该是费马在17世纪30
年代的某一天所写的。这绝对不是费马的数学生涯中所得到的最后一个数学结论
。于是，更多的人相信，这个"最后定理"得名的原因是，它是费马所留下的众多
数学定理中最后一个留待证明的！
从毕达哥拉斯数开始
有一个中国人非常熟悉的数学定理叫做"勾股定理"，而"勾三股四弦五"的简单解
释则更是许多孩子们在学习数学时能脱口而出的。实际上，丢番图第八问题所说
的"给定一个平方数，将其写成其他两个平方数之和"就是对行如：X2＋Y2＝Z
2的方程求解的研究。这个方程的一组解（X、Y、Z）就是一组勾股数。同样的
定理在西方被称为"毕达哥拉斯（Pythagoras）定理，勾股数也就是毕达哥拉斯数
。（由于费马定理是西方数学界提出的，在这里我们对它做研究时就用西方的称
呼。）一旦我们得到一组毕达哥拉斯数，我们就可以得到无数组其它的毕达哥拉
斯数，你只要用不同的系数去乘以这一组解就可以了。例如用2乘以3，4，5得到
6，8，10，这也是一组毕达哥拉斯数，因为62＋82＝102简单的，我们由32＋42＝
52可以推导出32×m2＋42×m2＝52×m2，即（3m）2＋（4m）2＝（5m）2而
在公元前约350年～300年欧几里德所著的《原本》一书中，已经有了完整求解丢
番图问题的内容。只要令：X＝s2－t2，Y＝2st，Z＝s2＋t2，其中s，
t是任取的自然数，要求s大于t，并且它们没有公因子即可。
这个定理对大多数人来说，几乎没有任何难度。让我们再试着迈出一两步看
看吧！当n＝4时，方程：X4＋Y4＝Z4有解吗？在对某一数学定理求得证明的
过程中，通常人们都会尝试先用一些特殊的情况得出部分结论，然后再求得完整
的解答。我们所做的，正是这样一种尝试。数学命题的证明中，大家都知道有一
种方法叫做反证法，即从命题的反面着手，先假设一个与命题相反的结论，然后
从假设中演绎出矛盾。一旦证明了某一命题的否命题不成立，就可以得出原命题
成立的结论。为此，我们假设当n＝4时，方程X4＋Y4＝Z4有解。根据这组解
的值的特性，我们可以取a＝y4，b＝2x2z2，c＝z4＋x4，d＝y2xz。
接下来，我们反复运用众所周知的恒等式（r＋s）2＝r2＋2rs＋t2就得到
：
a2＋b2＝（z4－x4）＋4x4z4
＝z8－2x4z4＋x8＋4x4z4
＝（z4＋x4）2
＝c2
并且我们有：
（1／2）ab＝（1／2）y42x2z2＝（y2xz）2＝d2 （1）
现在我们所要证明的，就是式（1）是错误的。这里，我们要使用的另外一种方法
也是费马本人创造的，叫做无限递降法。大家都知道，以一组毕达哥拉斯三元数
为一个三角形的三条边长，可以得到一个直角三角形，简称为毕氏三角形。费马
证明了：毕氏三角形的面积绝不可能是平方数，即绝非整数的平方。证明如下：
设存在一个毕氏三角形，其面积恰为某一整数u的平方。另x、y、z这组
毕氏数是三角形的三条边长，其中z为斜边。由毕氏定理可得：x2＋y2＝z2。
那么，由直角三角形面积公式可以得到
u2＝（1／2）xy （2）
注意，这里式（2）实质上与式（1）是等同的。费马另一种巧妙的论证使我们得
知，必定存在另一组解X，Y，Z和U，使得：X2＋Y2＝Z2，U2＝（1／2）
XY，并且Z＞z。
至此，我们所需得到的矛盾已经唾手可得了。同理，我们能够一直得到无数
组的Xn，Yn，Zn和Un（n＝1，2，3……），而且存在z＞Z＞Z1＞Z
2＞Z3＞……这样可以无穷递降的正整数数组。但是事实上是不存在无穷递降的
正整数数组的。因为当Zn降到1时，它就无法再降了！
于是，我们得出结论，式（2）不成立。这也就是说，式（1）也不成立。这样，
我们就获得了当n＝4时对费马最后定理的证明。一个简单的推论使我们可以继续
迈出一小步，即对于所有的n＝4k，费马最后定理都成立。理由为：若方程X4
k＋Y4k＝Z4k有解a，b，c，则ak，bk，ck，将是方程X4＋Y4＝
Z4的一组解。而我们已经证明了它是无解的。这样，我们就很轻松的站在费马的
肩膀上得到了一种特殊情况下对费马最后定理的部分证明。
艰辛的探索
回顾上一节，也许你会问，为什么我们不试一试n＝3的情况呢？然而当你尝
试一下，你就会明白为什么了。n＝3时费马最后定理的求证难度远远超过了n＝
4时的情况。
1753年8月4日，欧拉给哥德巴赫寄去了一封信。信中他宣布已经成功的证明
了n＝3时的费马最后定理，但是并没有给出证明。17年后，当欧拉在圣彼得堡出
版他的《代数学导论》时才给出了一个还是具有严重缺陷的证明。所幸的是，对
于n＝3，这一缺陷尚还不是无可补救的。但是如果试图用欧拉的方法去继续给出
其他特殊值的证明，这种错误就是致命的了。
欧拉同样使用了无限递降法。他为此构造了行如：
的数，其中a，b为整数。接下来欧拉经过一系列的变换后找到了他所需要的矛
盾，并推出了原命题成立的结论。尽管这个代数变换的过程并没有什么错误，但
是他最初构造数组的时候已经埋下了祸根。由欧拉构造的数随a，b的不同取值
形成一个数系。在证明当中，欧拉理所当然的将整数数系的一些特性运用到了新
数系中去，而事实上这种类比是不成立的。尽管两个数系中对于某些特殊值而言
，n＝3就是其中的一个，确实具有相同的性质，但是却无法取得一般情况下的结
论。因此欧拉在给出这一证明时，更多依靠的是运气。如果他想要获得n＝5时的
证明，按照他的方法就得构造出形式更加复杂的数。而这时候，欧拉本人一定会
意识到自己犯下的错误。
现在我们又获得了费马最后定理关于另一个特殊值的证明。让我们来总结一
下。如同对n＝4获证明后所做的推论，我们同样有：X3k＋Y3k＝Z3k无解
。在这两个前进了一步的推论的基础上，我们可以将费马最后定理的命题稍微简
化一下。我们考虑"算术基本定理"：每一个大于1的自然数，或者是素数，或者可
表示为若干素数的乘积，并且这种表示若不计素数排列的次序则是唯一的。由于
命题中的n≥3，所以n或者能被大于2的素数整除，或者能被4整除（同时被两者
整除的情况可以归为其中的任一类）。这样，问题就简化为求解对所有的奇素数
（素数中只有2是偶数）和n＝4的证明。而n＝4是最为简单的，那么我们所要做
的，就是对所有的奇素数求证了。
1825年，一老一少两位数学家对n＝5给出了最后定理的证明。他们是70岁的
勒根德尔（Legendre）和20岁的狄利克雷（Dirichlet）。他们延伸了欧拉的方法
，小心翼翼的给出了许多的假设之后，算是成功的获得了证明。但是随着n＝5的
解决，所有大家熟知的方法都已经是山穷水尽了。证明对代数工具的要求越来越
苛刻。狄利克雷费尽心思求解n＝7的情况却未能成功，只是在1832年得到了一个
相当弱的结论，即费马最后定理对n＝14成立。1839年，拉梅（Lamé）终于证明
了n＝7的情形。而这时在他的证明中，人们必须求助于一些与7本身结合的非常
紧密而又十分精妙的数学工具。他把对费马最后定理的证明推进了一步，却又同
时将人类在解决这一难题的道路上当时发现的所有路径都封死了。如果不采用新
的方法，根本就没有希望得出对n＝11的证明。1847年，正是拉梅本人发现了另
外一条迂回的前进路线。
拉梅建议的核心是试图利用n次复单位根来一劳永逸的的解决费马最后定理。所
谓n次复单位根是指一个复数r，它满足rn＝1，但是对于任意小于n的正整数
k，有rk≠1。引进r的目的何在呢？到当时为止所得到的所有对费马最后定理
证明的几种情况，无一例外的运用了代数中的某种因子分解。如对n＝3就利用了
因子分解式：x3＋y3＝（x＋y）（x2－xy＋y2）
拉梅认识到，n增大时证明的难度也增加，其原因在于进行这类因子分解时，被
分解后的因子中有一个的次数越来越高。而一旦引进了r，就可能彻底地将xn
＋yn分解成n个因子，它们都是1次的。
1847年3月1日，极度兴奋的拉梅向巴黎科学院的成员作报告，宣布他已经完
全证明了费马最后定理。他利用的正是他所引入的概念r而形成的数--现在被称
为分圆整数，以及费马本人所给出的无限递降法。整个的证明跟欧拉对n＝3时的
论证非常相象。讲完他所寻觅到的证明，拉梅向给他建议并促使他最终完成这一
证明的同事里奥维尔表示了感谢。然而就在他言毕入座时，正是里奥维尔指出，
拉梅的证明依赖于唯一因子分解定理。而据他所知，对于分圆整数并不存在这样
的定理。
里奥维尔的发言切中肯綮的指出了拉梅论证的要害。仿佛是一个玩笑似的，
在悲哀而窘迫的拉梅付出几周时间设法补救的尝试告以失败之后，拉梅认识到，
他与当年欧拉同样犯了一个无可救药的错误。
山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村。完全摧毁拉梅的证明的理论，事实上是
另一位数学家库默尔（Kummer）于三年前在一本并不出名的刊物上所发表的一篇
论文。如果拉梅当时就得知这一结果的话，他很可能就可以避免犯错。当拉梅认
识到自己的错误并了解了库默尔的成果时，库默尔已经建立了一套全新的数学理
论，并也将它用在了对费马最后定理的证明上。同样在1847年，库默尔得到了一
个里程碑性质的结论：对于所有小于37的素指数（当然对所有小于37的指数也成
立），以及除了37，59和67以外的所有小于100的素指数，费马最后定理都成立。
经过一段极其艰难的跋涉之后，人们在本世纪因为获得了计算机的帮助而加
快了解决费马最后定理的进程。先是由斯塔伏特（Staffort）和范笛弗(Vandive
r)对小于617的所有素数进行了验算。1954年,莱默 (Lehmer)进一步验算到了400
1，后来又有人算到了30000。1976年，美国的瓦格斯塔夫(Wagstaff)证明了对于
小于125000的所有幂指数，费马最后定理都成立。
1983年初，29岁的西德数学家G·法尔庭斯（Gerd Faltings）证明了一个结论，
它标志着数学中最著名的未解决的问题取得了100多年来最大的进步。他证明了对
于每一个大于2的指数n，费马方程最多有有限个本原解（即没有公因子的解），
这一证明帮助法尔庭斯获得了1986年的菲尔兹奖，但是人们却无从得知，这一证
明是否能导致对最后定理的完全证明呢？但是无论如何，法尔庭斯把存在无限多
个解的可能性降到了最多只可能有有限个解，这确实是一个质的飞跃！
定理的最终证明
尽管在普通人的心目中，都相信费马真的找到了一个证明。但这似乎更象是
一个动人的故事。一个17世纪的业余数学家在脑海中形成了对一个命题的证明，
使得其后三个多世纪的无数专业数学家为之奋斗而劳而无功。所幸的是，在人类
即将跨入下一个世纪的最后十年当中，终于揭开了费马最后定理那撩人的面纱！
最后的攻坚路线跟费马本人、欧拉和库默尔等人的完全不同，它是现代数学
许多分支（诸如椭圆曲线理论，模型式理论，伽罗华表示理论，等等）综合发挥
作用的结果。由于整个证明过程涉及众多高深的数学理论，许许多多数学家为此
作出了贡献。我们在这里无法一一细述，只能极粗略地勾划出证明路线的轮廓。
在本世纪50～60年代，数论研究中逐渐形成了一个重要的猜想，它最早是由
谷山丰（Y. Taniyama）提出，后经志村五郎（Goro Shimura）和A·韦尔（We
il）精炼成如下形式：有理数域上的每条椭圆曲线都是模曲线。（现在一般称
之为谷山－志村猜想。）
从60年代后期开始，有人将费马方程Xn＋Yn＝Zn和形如y2＝x（x＋
A）（x＋B）的椭圆曲线相联系，最初的着眼点是利用跟费马最后定理有关的
结论来证明与椭圆曲线有关的结论。1985年，弗莱（Frey）在两者的联系方面迈
出了重要的一步，他提出：如果费马最后定理不成立，则与谷山－志村猜想相矛
盾。1986年，其他数学家在此基础上给予了继续的论证，并最终将费马最后定理
的证明归结为对谷山－志村猜想的证明。
1993年6月，英国数学家安德鲁·约翰·怀尔斯（Wiles）于经历了7年的奋斗
之后在剑桥大学牛顿数学研究所举行的数学讨论会上，宣布他证明了谷山－志村
猜想，在此基础之上，怀尔斯宣布他证明了费马最后定理。然而历史总是以惊人
的方式在轮回。在对怀尔斯长达长达200多页的证明进行论证时，数学家们又发现
了一个漏洞！1993年12月4日，怀尔斯向同行们发出一份电子邮件，承认了他的证
明中有错误。这是否意味着即将进入21世纪的科学家们必须要臣服在3个多世纪前
的一位业余数学家的脚下呢？
答案是否定的。人类又一次用行动实现了不断超越自我的目标。怀尔斯所犯
下的错误，由他本人给予了补充证明。1994年10月25日，美国俄亥俄州州立大学
的鲁宾教授以电子邮件的方式向数学界的朋友们谨慎而又乐观的宣布："怀尔斯完
全证明了费马最后定理！"
1995年7月号的《美国数学会通告》上刊出了法尔庭斯的文章，题目是"泰勒
和怀尔斯对费马最后定理的证明"。文章开宗名义的以极其肯定的语调宣称："在
本文中所提到的猜想于1994年9月终于被完全证明了！"至此，人们可以肯定的相
信，那个困扰了数学家300多年的著名"定理"真正成为了定理！
费马最后定理的故事在科学史上是绝无仅有的，从它提出的那一天，它就被
冠以了"定理"的称号，注定了它的与众不同。而人们求索它的完全解决，似乎只
是因为对费马的不尽相信。然而仅仅是这样吗？不是！数学家们追求对费马最后
定理的证明，再次的说明了对待科学的态度必须是严谨的，不容半点含糊。因为
，我们人类社会大厦的构造，只能建立在坚实的科学基础之上！