给孩子们一串苹果，每个4个，每个3个，每个6个，每个5个，每个8个，每个7个。有多少苹果？

如果整数A除以整数B得到的余数是1，那么整数A除以2倍、3倍、4倍、...、(b-1)次分别是

1×2=2,

1×3=3,

1×4=4,

…………

1×(b-1)=b-1。

例如，15 ÷ 7 = 2...余数是1，即

2× 15 ÷ 7 = 4 ...剩余2，

3× 15 ÷ 7 = 6 ...剩下3个，

4× 15 ÷ 7 = 8 ...剩下的4个，

5× 15 ÷ 7 = 10 ...5,

6× 15 ÷ 7 = 12 ...于6。

也请关注一个体验。

从某个数A中连续减去几个B后，所需的差小于数B，实际上是数A除以数B所得的余数.

比如758减去一个数105后，需要的差小于105，实际上是758除以105得到的余数。

758 ÷ 105 = 7 ...于23。

让我们来研究孙子的问题。

中国古代孙子的计算中有一个问题:“今有未知之事，三三数剩二，五五数剩三，七七数剩二。事物的几何是什么？”意思是，“一个数除以3大于2，除以5大于3，除以7大于2。找到适合这个条件的最小数。”这个问题被称为“孙子问题”。孙子问题的通解，国际上称为“中国剩余定理”。

事实上，我们可以这样看待上面的问题:

分别写出约数3、5、7的两两公倍数。下表:

一号组，二号组，三号组

最小公倍数3和5，公倍数3和7，公倍数5和7。

其他公倍数15 21 35

30 42 70

45 63 105

60 84 140

75 105 175

……

在第一组数字中，我们选择较小的数字——30，符合“除以7和2”；

在第二组数字中，选择较小的数字——63，符合“除以5，剩余3”；

在第三组数字中，选择较小的数字-35。

根据sum的整除性可以知道，30+63+35=128一定是同时符合“除以3、除以5、除以7”的数(为什么？)，但不一定是最低的。要得到合格的最小数，只需从3、5、7的最小公倍数中减去几倍，使差值小于这个最小公倍数。

3、5、7的最小公倍数是3×5×7=105。因此，由于前面的经验2，我们可以看出

128 ÷ 105 = 1 ...于23。

这个余数23是所需的合格最小数。

有意义的是，虽然孙老先生的解也是从思考上表得到的，但他的解更一般。亲爱的读者们，你们能猜出孙子的一般解法吗？

法律

一个数除以3大于2，除以5大于3，除以7大于2，求适合这个条件的最小数。孙子的解决办法是:

首先从3和5、3和7、5和7的公倍数中找出分别被7、5和3整除的较小数15、21和70。

15 ÷ 7 = 2 ...剩余1，

21 ÷ 5 = 4 ...剩余1，

70 ÷ 3 = 23 ...剩余1。

然后将找到的三个较小的数分别乘以余数除以7、5、3的乘积，

15×2+21×3+70×2=233.

最后，总和233除以除数3、5和7的最小公倍数。

233 ÷ 105 = 2 ...余23，

这个余数23是合格的最小数。

以上三个步骤适用于解决所有类似孙子问题的问题。

练习

1.韩信命令士兵:有一队士兵。如果按五行列排列，则末有一，末有六，末有五，末有七，末有四，末有十。求兵数。

2.有一堆棋子，三个地块还剩两个，五个地块还剩四个，七个地块还剩六个。这堆棋子的最小数量是多少？(分两种方式求解)

3.用一个数除以7、3、8、4和9。5.从小到大找出适合条件的十个数。

4.将一个数除以5+2，除以7+4，除以11+8。找出适合该条件的最小数字。

5.一只猴子数一堆桃子。两块地留1，三块地留1，五块地留三，七块地留三。这堆桃子的最小数量是多少？

数学很抽象，很枯燥。如何让数学变得通俗易懂，受到人们的喜爱？在这方面，我国古代数学家做了很多尝试，歌谣和公式就是其中之一。从南宋的杨辉开始，元代的朱世杰、丁菊、贾衡，明代的刘世龙、程大伟都以韵文的形式提出了各种算法，或以诗歌的形式提出了各种数学问题。朱世杰的《思源遇见》和《或问歌》中有十二个数学问题，都是以诗歌的形式提出来的。例如，第一个问题:

如今，这里有一个方形的水池，四面都是水。

礁石的两边逐渐变大，水冒出来30英寸。

东海岸有一种香蒲，水面上没有零。

桥墩与水稍平齐，那么如何确定三种(水深、墩长、墩长)？

第四个问题:

我有一壶酒，我要带友春一起走。

遇到一家店，翻倍，每个朋友喝一桶。

店友经过三个地方，把壶里的酒弄丢了。

我可以问一下这个壶里有多少酒吗？

程大伟的《明代算法经典》是一部通俗实用的数学著作，也是一部数字诗的代表作。明末清初广为流传的《算法通宗》十七卷，为民间数学知识的普及做出了突出贡献。程大伟花了将近20年的时间才完成这本书。最初，他是一个商人。他经商时，从全国各地搜集算术、写作方面的书籍，编成歌谣，把枯燥的数学题变成美妙的诗篇，让人朗朗上口，加强了数学普及的亲和力。

著名的《孙子算经》有一个“不知物数”的问题。这段计算的原文是:“今天，有些事情的数字是未知的。三三个数剩二，五五个数剩三，七七个数剩二。事物的几何是什么？答二十三。”这个问题一直流传到后世，出现了很多有趣的名字，比如“鬼谷子”“韩信点兵”。程大伟在《算术统一》中以诗歌的形式写了一个数学解:

三人同行七十，五树二十一棍，

七子重聚在月中，到105年才知道。

这首诗包含了著名的“余数定理”。也就是说，余数除以3乘以70，余数除以5乘以21，余数除以7乘以15。如果结果大于105，则减少105的倍数。上述问题的结果是:(2×70)+(3×21)+(2×15)-(2×105)= 23。

这个问题在宋代的一个笔记本里也有诗意的解答:

三岁小孩七十稀罕，五留二十事特别奇。

七度再相见，寒食明。

古代把正月十五叫做上元，所以上元指的是15，也叫至日十六日清明。寒食是清明节的前一天，所以寒食上的清明是指105。两首诗解法相同，答案是23。

程大伟也有一首类似二元线性方程组的饮酒数学诗:

餐厅顾客众多，薄酒之名，浓而醇。

一瓶好酒三人醉，三瓶稀酒一人醉。

* * *喝了19次，33个客人都醉了。

请问高明做学问，有多少酒量？

这首诗的大意是:一瓶好酒能醉三客；三瓶薄酒就能把客人灌醉。33个客人喝醉了，总喝19瓶酒。有多少瓶好酒和薄酒？

元代有一本算术书《详明算法》讲的是丈量田亩的方法:

古代田地长而潮湿，全靠绳尺丈量。

虽然有一种形式的普遍定律，但只有田方定律易于详述。

如果看到漩涡斜下凹，一定要补上。

但是，小米实际上是一种田地产品，分两亩或四亩的方法很强。

苏东坡的一首名为《鸟归巢》的数学诗；

相继出生，三四五六七八。

凤凰鸟少鸟多，啄食人间千石谷！

经过计算，“一个生一个”是1+1 = 2。“三四五六七八，但是3× 4 = 12，5× 6 = 30，7× 8 = 56。四组数字之和正好是100。这首诗就像一场智力游戏，用智慧启迪人。

这样，这类问题就可以掌握了。