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古希腊包括巴尔干半岛南部，爱琴海和爱奥尼亚海的岛屿，克里特岛和小亚细亚的沿海地区。半岛东海岸曲折，海湾众多，波浪平缓，有许多优良的港口。
古希腊人非常喜欢海上旅行和贸易，这使他们很早就接触到了先进的东方文化。当时，奴隶负责日常工作，奴隶主有足够的时间评论市政事务，争论法律诉讼和海外新闻，作为时尚的消遣。所以能言善辩的人，往往会在自己身边聚集一些人做徒弟。
公元前500多年，毕达哥拉斯建立了青年兄弟会，秘密地向其成员传授数学知识。一个世纪后，雅典出现了学校，向年轻人传授法律、政治、演讲和数学知识。新学校没有那么神秘的色彩，老师和学生都可以把一切写出来给人看。这种开放的研究和自由的辩论促进了一种新的数学思想和方法的出现。
很久以前，人们就知道边长分别为3、4、5和5、12和13的三角形是直角三角形。毕达哥拉斯发现了两组数的相似性:最大数的平方等于另外两个数的平方之和，即3？+4?=5?；5?+12?=13?。也就是说，直角三角形的最长边为边长的正方形面积等于两个短边为边长的正方形的面积之和。
接着，毕达哥拉斯又研究了两个问题:1。这条规则适用于所有的直角三角形吗？第二，任何符合这个规律的三角形都一定是直角三角形吗？
毕达哥拉斯收集了很多例子，所有的例子都明确回答了这两个问题。据说，为了庆祝他的发现，他杀了100多头牛，并举办了一场盛大的宴会。这就是为什么几何学中的勾股定理也叫勾股定理。
希腊数学老师也教法律。学生学数学也学法律，对老师给的每一条规则都提出自己的异议，要求老师对所有概念做出准确的定义。这使得教师面临一个非常艰巨的任务，尤其是定义它并不是一件容易的事情。比如如何准确定义一条直线？如何定义一个圆？如何让别人不把它们理解成其他图形？……
不知经过了多少次争论，人们才逐渐认识到，最好的办法是直接描述如何使用工具制作图形。要用工具画画，这就引出了另一个问题:约定用什么工具？当时希腊人规定，绘制几何图形只允许使用画线和画圆的尺子和圆规。
在希腊之前的漫长岁月里，人们已经知道了很多关于求面积和量角度的知识。但是，没有人想到通过推理把这些知识联系起来，找出它们之间的内在联系，证明它们是可靠的。也就是说，此时几何的知识还处于支离破碎、互不联系的状态。没有系统，就没有几何学。
好争辩的希腊人坚持每一个几何定律都必须经过辩论验证，并逐一回答各种反对意见。这样，在证明新定律时，可以直接引用已证明的定律，而不必从头再来。细心的希腊人从不相信几何知识，只相信非常清晰的解释和概念。他们从指导思想和具体方法两个方面推动了几何学的形成和发展。
公元前300年左右，欧几里得写了一套数学教科书，叫做《几何原本》，把希腊人在这个领域的成就传给了我们。一千年后，许多希腊作品丢失并被销毁，但《几何原本》被翻译成阿拉伯语，作为穆斯林大学的教科书。直到五十年前，欧美的学校还在用翻译过来的《几何原本》作为教材。即使在今天，初中几何教学的主要内容还是来自欧几里得几何。
几何学的建立为测量、建筑、航海、天文学，甚至城市规划和乐器设计提供了必要的工具。
在毕达哥拉斯时代，希腊人已知的几何定律有两条:第一，任意三角形的三个内角之和等于两个直角；第二，三角形的两个内角相等，它们对应的边也相等。根据第一法则，如果三角形中的一个角是直角，另一个角是45°，那么第三个角一定是45°；根据第二定律，两个45°角对应的边必须相等。根据这两个定律，他们可以利用太阳光来测量地面上物体的高度。
当太阳以45°照在地面上时，一根直立在地面上的柱子，加上它的影子和阳光，正好形成这样一个三角形，所以没有必要爬到柱子上去测量柱子的高度。因为柱子和它的影子都对应45°角，所以长度相等，只需测量影子长度。
当然，这个原理也可以用在很多其他方面。比如测量海上的船离岸边有多远，我们只需要在岸上确定两个点，使一个点与船和海岸的连线成直角，另一个点与海岸成45°角。那么岸上两点的距离就是船到海岸的距离。
这种方法由于要求45°角，在实际测量中受到很大限制。在测量金字塔的高度时，古埃及人使用了三角形的另一个规则:如果任意两个三角形的对应角相等，则每组对应边的边长之比也相等。这样，直立在地面上的木杆的高度与它的午影长度之比就等于金字塔的高度和它的午影长度加上地基宽度的一半之比。可以直接测出木杆的高度和阴影长度，金字塔的阴影长度和地基的宽度。因此，可以根据比例关系计算出金字塔的高度。
掌握了对应三角形的规律后，角度限制就没有了，一年四季都可以随时用阳光测量高度。需要指出的是，古埃及人虽然可以运用这一定律，但无法像希腊人那样严格证明。
公元前332年，古希腊的亚历山大大帝征服了埃及，并下令在那里修建亚历山大城。后来，这座城市成为地中海的学术中心。
大约在公元前240年，亚历山大城的教师伊拉托·塞尼(Irato Seni)算出了地球子午线的长度，这是几何学知识在历史上的一个重要应用。
Irato Sonny从资料上了解到，阿斯旺附近的肖恩正好在北回归线上。因为在夏季至日的中午，你可以在那里的深井里看到太阳的倒影。这说明太阳在头顶正上方，阳光垂直于地面，直射地心。同一个夏天的中午，在至日，他测量了亚历山大港一根柱子的影子，计算出阳光偏离垂直方向7.2度。因为阳光与地面平行，所以这种入射角的差异应该可以解释地球表面的曲率。
现在我们来看看Irato Sonny是如何利用几何知识计算出地球子午线的长度的。如图，画两条平行线:一条代表亚历山大的太阳光线；另一个代表肖恩的阳光。画出亚历山大-列的垂直线，把当地的光线切割成7.2；在地球中心切断肖恩的光。
根据平行线内角相等的知识，伊拉托桑尼知道亚历山大、地心和西恩的夹角也是7.2；而7.2正好是360°圆的1/50。
因为西恩就在亚历山大的南面，所以两地之间的道路一般都在跨越南北极的大圆上。这样，按照肖恩的说法，伊拉托到亚历山大的行程是480英里。即使地球大圆的周长是480英里的50倍，也是24000英里(相当于38623公里)，这是地球子午线的长度。我们知道，现在测得的地球子午线长度是40008.5km，Irato Sonny的误差不到4%。早在麦哲伦第一次环球航行的1700多年前，他就给出了如此精确的近似值，真是太神奇了！
与伊拉托·桑尼大约同时代的阿基米德是那个时代最杰出的数学家、物理学家和机械发明家。他制造弩和弩来攻击敌人，保卫自己的国家。他紧贴圆筒内壁做了一个旋转器抽水，解决了农田灌溉和船舱排水的困难。著名的浮力原理也是他在判断皇冠是纯金还是金银混合时发现的。我们今天用来测量液体密度的比重计就是根据这个原理制造的。
阿基米德对数学做出了许多贡献。他通过使用48边正多边形的内接和外切周长的平均值，相当精确地计算出圆周率的值为22/7。直到今天，这个数值对于一般的工程技术来说已经足够了。他研究了曲线的特征，比如蚊子熏出来的一圈圈香，我们今天称之为阿基米德螺线。他还找到了很多求体积的方法。球和柱的两种求积方法刻在他的墓碑上。
比阿基米德晚了五十年的希帕卡收集了希腊几何学的成就，编制了我们现在所说的正弦表，这对测量和天文学极其有用。
我们知道三角形的三个内角之和等于两个直角。如果三角形中的一个角是直角，另一个角是已知的角A，那么第三个角B等于直角和角A之差..角A的对边与斜边的比值称为角A的正弦，这个比值对包括同一个角A在内的所有直角三角形都是一样的，当A为60°、45°和30°时，正弦值可由勾股定理确定。希帕卡斯发现了另一个定理，它可以计算许多其他角度的正弦值，为天文学家和勘测者提供了广泛的角度范围。
700年来亚历山大一直是科学文化的中心，这是一个科技繁荣的时代。大规模的城市建设、频繁的海上贸易和陆海列强之间持续不断的战争，促进了测绘、航海和天文、采矿和力学的研究。希腊在数学方面的巨大成就是科学技术不断进步的不可或缺的条件。
英语中的“算术”一词来源于希腊语。但希腊语“算术”在今天并不是指数字计算，很可能是指“数字游戏”。
当时最著名的就是所谓的三角数1，3，6，10等等。它们由1、1+2、1+2+3、1+2+3+4等组成。毕达哥拉斯青年兄弟会发誓的秘密之一是如何辨别这些数字中的任何一个是什么。
事实上，判断任何数字是什么的方法非常简单。比如需要第五个数，用5乘以(5+1)再除以2，结果是15；要求第二十个数，用20乘以(20+1)再除以2，结果是210。
石头游戏可能是使希腊人能够找到一种方法来寻找连续奇数之和的起源。从1开始，10连续奇数之和为10×10 = 100；如果增加到20个奇数，总和就是20× 20 = 400。
另一个数字游戏可以用芝诺的一个著名的诡辩来代表。芝诺是一位非常有才华的数学家。他问:阿喀琉斯是古希腊传说中擅长奔跑的神。如果让他和乌龟赛跑，假设他的速度是乌龟的10倍。乌龟在100米第一个出发。然后，阿喀琉斯开始追乌龟。Axiris跑完100米的时候，乌龟已经往前走了10米；当阿希利斯跑完10米时，乌龟向前10米。无论阿西利斯的速度有多快，走一段距离都需要一段时间，而在这段时间内，无论乌龟的速度有多慢，它总会走一段距离。这样，阿喀琉斯就永远追不上乌龟了。
人们从实践经验中知道，结果肯定不会是这样的。阿希利斯肯定会超越乌龟，但在很长一段时间里，人们不知道问题出在哪里，当然也不知道如何反驳芝诺的诡辩。
今天，我们都能发现芝诺的诡辩是站不住脚的。虽然乌龟可以是100米，10米，1米，0.1米，0.01米...腋前；但是，这总是在离起点1/9公里以内，不会超出这个范围。所以阿希利斯在距离起点1/9公里处超了乌龟。在这里，“永远”并不能迷住我们的眼睛。很多越来越小的分数加起来，不管多小，它们的和都有一个特定的极限，数学上叫做极限。这里1/9公里是前面乌龟的极限，所以Axilis一定会超越。
字母的使用曾经使希腊人大大简化了书写。他们也希望在数字计算方面得到同样的便利。起初希腊人用一个前缀来表示一个数，即δ代表10，H代表100，X代表1000，就像英语中T代表十，H代表百一样。不管数字有多大，只要根据需要重复这些符号就可以了。这个数字的写法和埃及很像。看这两种写法。写出与右图所示相同的数字3420:
到了第五世纪，希腊人采用了一种完全不同的计数方法。它们用前九个字母代表1到9；接下来的九个字母代表10到90；后九个字母代表100到900；在任一数字前划一条线，表示它是原来数字的1000倍。这个新的数字系统需要27个字母，而希腊只有24个字母，所以增加了3个古、外字母。
采用这种计数方式的唯一好处是一些大数字比较短，容易写，不占空间；严重的问题是计算困难，使用不便。今天，我们在数学中使用字母作为速记符号。例如，bh/2表示三角形的面积等于底乘以高除以2。这种简洁的表示法对于把字母固定在数字上的希腊人来说根本不可用。
后来罗马人打败希腊人，成为地中海地区的霸主。在希腊人的基础上，他们建立了自己的计数方法。大约两千年前，罗马军队征服了南欧、高卢、英国大部分地区、非洲北部边缘和西亚大片地区。希腊语被作为一种学习语言保存了下来。
公元4世纪，罗马帝国分为东西两部分。东罗马部分继承了希腊文明，保存了希腊学术语言和传统。西罗马很快失去了希腊语言和科学，并在很长一段时间内保持落后和保守。
西方需要数学、科学等方面的学习和帮助。援助来自东方的阿拉伯、印度和中国。