外延和拓扑的区别
数学定义:设x为非空集。x的子集族τ称为x的拓扑，如果它满足:
(1)X和空集{}都属于τ；
(2)τ中任意数量成员的并集仍在τ中；
(3)τ中有限个成员的交集仍在τ中。
设集合X及其拓扑τ为拓扑空间，记为(X，τ)。
称τ中的成员为这个拓扑空间的开集。
例如:1。欧氏空间是开集意义上的拓扑空间，它的拓扑是由所有开集组成的集合。
2.设x是非空集。那么集合t: {x，{}}是X的拓扑，称t为X的平凡拓扑，显然(X，t)只有两个开集，X和{}。
3.设x是非空集。那么X的幂集t = 2 x也是X的一个拓扑.一个调用t x的离散拓扑.显然，X的任何子集都是(X，T)的开集.
4.具体的例子。设X={1，2，3}。那么{X，{}，{1，2}}是X的拓扑，但是{x，{}，{1}，{2}}不是拓扑。(自己想想为什么)
拓扑的起源
几何拓扑学是19世纪形成的数学分支，属于几何学范畴。关于拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。当时发现了一些孤立的问题，这些问题后来对拓扑学的形成起到了重要作用。
数学上，哥尼斯堡七桥问题、多面体欧拉定理、四色问题都是拓扑学发展史上的重要问题。
哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)是东普鲁士的首都，普列格尔河从这里穿过。18世纪，这条河上建了7座桥，把河中间的两个岛和河岸连接起来。人们闲暇时经常在上面散步。有一天，有人问:我们能不能只在每座桥上走一次，最后回到原来的位置？这个看似简单有趣的问题吸引了大家。很多人都在尝试各种方法，但是没有人做到。想要得到一个清晰理想的答案，似乎并不是那么容易。
1736年，有人带着这个问题找到了大数学家欧拉。经过一番思考，欧拉很快以独特的方式给出了答案。欧拉首先简化了这个问题。他把两个小岛和河岸分别看作四个点，把七座桥看作这四个点之间的连接线。那么问题就简化为，你能一笔画出这个图形吗？经过进一步的分析，欧拉得出结论:不可能走完每一座桥，最后又回到原来的位置。并给出了所有一笔能画出的图形应具备的条件。这是拓扑学的“先驱”。
在拓扑学的发展史上，还有一个关于多面体的著名而重要的定理也与欧拉有关。这个定理的内容是:如果一个凸多面体的顶点数、边数、面数都是V，那么它们总是有这样一个关系:f+v-e=2。
根据多面体的欧拉定理，我们可以得到一个有趣的事实:正多面体只有五个。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
著名的“四色问题”也与拓扑学的发展有关。四色问题，又称四色猜想，是现代世界三大数学问题之一。
四色猜想是由英国提出的。1852年，毕业于伦敦大学的弗朗西斯·格思里(Francis guthrie)来到一家科研单位做地图着色时，发现了一个有趣的现象:“似乎每张地图都可以用四种颜色着色，这样同样边界的国家就用不同的颜色着色了。”
1872年，当时英国最著名的数学家凯利正式向伦敦数学会提出了这个问题，于是四色猜想成为世界数学界关注的问题。世界上很多一流的数学家都参加过四色猜想的大战役。在1878到1880的两年间，肯普和泰勒两位著名的律师和数学家分别提交了证明四色猜想的论文，并宣布证明了四色定理。但后来数学家Hurwood指出，Kemp的证明与他自己的精确计算是错误的。很快，泰勒的证明也被否定了。于是，人们开始意识到，这个看似简单的题目，其实是一个堪比费马猜想的难题。
自20世纪以来，科学家们基本上是按照肯普的想法证明四色猜想的。电子计算机出现后，由于计算速度的快速提高和人机对话的出现，四色猜想的证明过程大大加快了。1976年，美国数学家阿佩尔和哈肯在美国伊利诺伊大学两台不同的计算机上，花费了1200个小时，做出了1000亿次判断，最终完成了四色定理的证明。然而，许多数学家并不满足于计算机所取得的成就。他们认为应该有一个简单明了的书面证明方法。
上面的例子都与几何图形有关，但这些问题不同于传统的几何，而是一些新的几何概念。这些都是“拓扑学”的先驱。
什么是拓扑？
拓扑学的英文名是Topology，直译是地理学，类似于地形学和地貌学。在中国早期被翻译为“情境几何”、“连续几何”、“一对一连续变换群下的几何”。但这些翻译并不容易理解，65438到0956的统一数学术语把它认定为拓扑学，是音译。
拓扑学是几何学的一个分支，但这个几何学不同于通常的平面几何学和立体几何学。通常平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系及其度量性质。拓扑学与研究对象的长度、大小、面积、体积的度量性质和数量关系无关。
例如，在通常的平面几何中，如果平面上的一个图形移动到另一个图形上，如果它们完全重合，那么这两个图形称为共形。然而，拓扑学中研究的图形在运动中是变化的，不管它的大小或形状如何。在拓扑学中，没有不能弯曲的元素，每个图形的大小和形状都是可以改变的。比如欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题时，没有考虑它的大小和形状，只考虑了点和线的数量。
拓扑性质是什么？首先我们引入拓扑等价，这是一个很容易理解的拓扑性质。
拓扑学中不讨论两个图之间的同余的概念，而是讨论拓扑等价的概念。比如圆、正方形、三角形虽然形状大小不同，但都是拓扑变换下的等价图。左边的三个东西在拓扑上是等价的，换句话说，从拓扑学的角度来看，它们是完全一样的。
在一个球面上选择一些点，用不相交的线连接起来，这样球面就被这些线分割成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍然与原数相同，这就是拓扑等价。一般来说，对于任意形状的封闭曲面，只要曲面不被撕裂或切割，其变换就是拓扑变化，拓扑等价是存在的。
需要指出的是，torus不具备这种性质。举个例子，如果圆环体被切割成左图所示，它不会被分成很多块，而只是变成一个弯曲的桶。在这种情况下，我们说球面在拓扑上不能变成环面。所以球面和圆环面在拓扑学上是不同的曲面。
一条直线上的点与线之间的组合关系和顺序关系在拓扑变换下保持不变，这是一种拓扑性质。在拓扑学中，曲线和曲面的封闭性质也是拓扑性质。
我们平时说的平面和曲面，通常都有两面，就像一张纸有两面一样。但是德国数学家莫比乌斯(1790 ~ 1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种表面不能两面涂不同的颜色。
拓扑变换的不变量和不变量有很多，这里不介绍了。
拓扑学建立后，由于其他数学学科的发展需要，也得到迅速发展。特别是黎曼创立黎曼几何后，他把拓扑的概念作为解析函数论的基础，进一步推动了拓扑学的进步。
二十世纪以来，集合论被引入拓扑学，为拓扑学开辟了新的面貌。拓扑学成为任意点集的对应概念。拓扑学中一些需要精确描述的问题可以用集合来讨论。
因为大量的自然现象是连续的，所以拓扑学具有与各种实际事物广泛联系的可能性。通过对拓扑学的学习，可以明确空间的集合结构，把握空间之间的函数关系。自20世纪30年代以来，数学家们对拓扑学进行了更深入的研究，提出了许多新概念。比如一致结构、抽象距离、近似空间等概念。数学中有一个分支叫微分几何，用微分工具研究线和面在一个点附近的弯曲，拓扑学研究面的全局联系。因此，这两个学科之间应该有某种本质的联系。1945年，中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何之间的联系，促进了全球几何的发展。
直到今天，拓扑学在理论上一直分为两个分支。一个分支专注于分析方法，称为点集拓扑，或分析拓扑。另一个分支专注于代数方法，称为代数拓扑。现在，这两个分支有了统一的趋势。
拓扑学广泛应用于泛函分析、李群理论、微分几何、微分方程等许多数学分支。
拓扑学
拓扑学
数学的一个重要的基础分支。起初是几何学的一个分支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许膨胀、扭曲等变形，但不允许切割、粘合)；现在已经发展成为研究连续现象的数学分支。由于数学中连续性的表达方式和研究方法的多样性，拓扑学被划分为研究对象和方法不同的几个分支。拓扑学的孕育阶段，19年底，点集拓扑学和组合拓扑学两个方向已经出现。现在前者已经演变成了一般拓扑，后者则变成了代数拓扑。后来微分拓扑和几何拓扑相继出现。拓扑学主要是由于分析和几何的需要而发展起来的。它自20世纪30年代以来的巨大发展，特别是其成果和方法向数学各个领域的不断渗透，是纯数学在20世纪发展的一个明显特征。
拓扑问题的一些基本例子
哥尼斯堡的七座桥问题(一笔画问题)哥尼斯堡是东普鲁士的首都，上面有七座桥(见图论)。一个步行者怎么能走过七座桥，而每座桥只经过一次？这个18世纪的智力游戏，被l .欧拉简化为一个用细线画出的网络能否一笔画出的问题，然后他证明了不可能。一笔能否画出网络，与线的长短无关，只取决于点与线的连接。场景1
这个网是由柔软而有弹性的材料制成的。它被弯曲拉伸后，是否能一笔画出，是不会改变的。欧拉的多面体公式和曲面分类欧拉发现，无论什么形状的凸多面体，其顶点数、边数和面数之间总有一个关系。从这个公式可以证明，正多面体。
只有五种物体(见正多面体)。值得注意的是，如果多面体不是凸的而是框形的(图1凸且框形)，那么无论框的形状是什么，总会有□。这说明凸形和框形比长短曲线有更本质的区别。通俗的说法就是框形有洞。在连续变形下，凸体的表面可以变成球形，框架的表面可以变成圆环面(轮胎胎面)。两者无法通过不断的变形来改变对方。连续变形下有多少种不同类型的闭合曲面？怎么
如何识别他们？这是19世纪下半叶拓扑学研究的主要问题。曲面转化为多面体后的欧拉数□ -□ +□在其中起着关键作用(见封闭曲面的分类)。四色问题在平面或球面上绘制地图，有共同边界的区域用不同的颜色来区分。19世纪中期，人们凭经验猜测，四种颜色足以给所有的地图上色。证明这个猜想的尝试持续了100多年，直到1976年才出现了一个计算机证明。如果在胎面而不是平面上画地图，四色不够，七色就够了。用橡胶做一个表面模型，然后随意扭曲让山脉起伏，对上面的地图着色没有影响，所以这个色号也是表面在连续变形下的不变属性。
在打结问题空间中不与自身相交的闭合曲线将会打结。要问一个结能不能解开(即能不能转化为扁圆)，或者两个结能不能互相转化(比如图2中的圆和三叶形结中的两个三叶形结能不能互相转化)，远非易事，不仅要试着做一个模型，还要给出证明(见结论)。
维度问题什么是曲线？幼稚的概念是，一个点运动成一条线，随一个参数(时间)连续变化的运动点所描绘的轨迹是一条曲线。然而，在1890，G琴创造了这样一条“曲线”，它填满了整个广场！这刺激了关于维度概念的深入讨论，用了20 ~ 30年才取得关键突破(见维度)。路由问题(嵌入问题)复杂网络可以铺设在一个平面上而不交叉吗？制作印刷电路时自然会出现这个问题。图3:嵌入网络左侧的图可以通过在正方形外移动一条对角线在平面上布局，但是图4:嵌入网络的两个图无论怎么移动都无法在平面上布局。K Kuratowski在1930中证明了一个网络能否嵌入一个平面取决于它是否不包含这两个图中的一个。
矢量场问题考虑光滑曲面上的连续切矢量场，即在曲面的每一点上放置一个与曲面相切的矢量，其分布是连续的。向量等于0的地方称为奇点。比如地球表面各点的风速矢量构成了一个随时间变化的切向矢量场，奇点就是当时无风的地方。从直观的经验可以看出，球面上连续的切向量场一定有奇点，但环面上可以创建无奇点的向量场。
进一步分析表明，每个奇点都有一个“指数”，即动点绕其转一圈时，向量在动点的圈数；这个指标可以是正的，也可以是负的，取决于动点的方向是与矢量旋转的方向相同还是相反(图5中矢量场齐次点的指标)。庞加莱发现，只要球面上切向量场的奇点个数有限，这些奇点的指数的代数和(正负应相消)总是等于2；但是，在圆环面上，它始终等于0(请参见曲面)。这2和0是这两个曲面的欧拉数，这不是巧合。
不动点问题考虑曲面到自身的连续变换。
射)，即把曲面的每一点都移到曲面上。