七座桥问题的答案
除了起点,一个人每从一座桥进入一块地(或点),他或她也从另一座桥离开这个点。所以每经过一个点,就有两座桥(或线)被计算在内,从起点离开的线和最终返回起点的线也被计算在内,所以连接每块地和其他地的桥的数量必须是偶数。
七座桥形成的图都不含偶数,所以无法完成上述任务。
扩展数据:
在本文中,欧拉抽象了七座桥的问题,把每一个陆地看作一个点,连接两个陆地的桥用一条线来表示。从而得到如图所示的几何图形。如果我们用A、B、C、D四个点来代表哥尼斯堡的四个区域。这样,著名的“七桥问题”就转化为能否用不重复的笔画出这七条线的问题。
如果能画出来,图形中一定有终点和起点,起点和终点应该是同一点。因为对称性,从B或者C开始得到的效果是一样的。如果假设A是起点和终点,那么必然有一条出发线和一条对应的进入线。如果我们定义进入A的行数为入度,离开的行数为出度,与A相关的行数为A度。
那么A的出度和入度是相等的,也就是A的度应该是偶数。也就是说,如果从a出发有解,那么a的次数应该是偶数,而实际上a的次数是5,奇数,所以可以看出从a出发没有解,同时,如果从B或者D出发,因为B和D的次数分别是3和3,所以都是奇数,也就是说没有从它们出发的解。
基于以上原因,我们可以看到,抽象的数学问题是无解的,即“七桥问题”也是无解的。
由此我们得到:欧拉路径关系。
由此,我们可以知道,为了使一个图形能够成为一个笔画,必须满足以下两个条件:
图形必须是连通的。
2.图中“奇点”的数量为0或2。
我们也可以用这个来测试图形是否能一笔画出来。回过头来看,也可以由此判断“七桥问题”。这四个点都是奇点,所以我们可以看到图形不能一笔画出,也就是说不存在通过所有七座桥的重复。
1736年,欧拉在提交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡七桥》论文报告中阐述了他的解题方法。他巧妙的解决方案为数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。
七桥问题与欧拉定理
通过对七座桥的研究,欧拉不仅满意地回答了哥尼斯堡居民提出的问题,还得出了并证明了关于一笔画的三个更为广泛的结论,人们通常称之为欧拉定理。
对于连通图,从一个节点出发的路线通常称为欧拉路。人们通常把回到起点的欧拉路称为欧拉路径。具有欧拉路径的图称为欧拉图。
这个题目收录在人教版《小学数学》第十二册. 104页。
这个题目也被人教版收录在初中第一册。在121页。
1.任何由偶数点组成的连通图都可以一笔画出。画图的时候可以从任意一个偶数点开始,最后可以以这个点为终点完成画图。
3.任何只有两个奇点(其余都是偶点)的连通图都可以一笔画出。画图时,一个奇点必须是起点,另一个奇点必须是终点。
【14】其他情况不能一笔带过。(把奇数除以二,你就能算出画这幅画需要多少笔。)
参考资料:
七桥问题_百度百科